() A. Paquf. — Nouvelles démonstralionx 



(léiermineiont les valeurs des p coefficients , et l'on aura ainsi 

 par suite du ihéorème II déjà rappelé : 



A,=1 + a + «'-}-...+n7-'+o!'-i, 



Le coefficient général A„ sera 



Multipliant membre à membre ces diverses et dernières égalités, 

 ordonnant tous les polynômes entrant dans les calculs relativement 

 aux puissances croissantes de a, cl faisant 



1 + a l-fa + a* 1 -t-a + a' + a' ■■" l + n-l-a^+...4-o»-" 

 T = (l + a + «'-f ...-f fiî'-i)(l+a + a'-f ... + a?-^).... 



(l4.a + aH... + a?-»). 



On aura An = V.T. 



La composilion de T est simple et facile à définir : c'est un pro- 

 duit dont les différents facteurs sont les sommes des puissances 

 successives de a , depuis la 0'^°° jusqu'à celles jo — l,p — 2,p — 3... 

 {p- — n)''™= res|)eciivement , ces sommations étant arrêtées à celle, 

 où pour un terme qui en a n avant lui, on réunit les ji — n pre- 

 mières puissances de a (celle de degré comprise). 



On peut écrire d'une manière générale 



^^p — n 



Cette notation signifiant que T est le produit (X) de la suite 

 des sommes ^ des différentes (i) puissances de a, prises depuis 

 la 0'^'°'= et arrêtées successivement aux p—\,p — 2,/> — 5,... 

 (p — h)'™=. 



Quant à la composition de V, qui est une fraction , il est aisé d'a- 

 percevoir que son numérateur est égal à a élevé à une puissance 

 d'un degré égal à la somme des n — 1 premiers nombres natu- 



rets; celte somme étant -— ^ , le numérateur de V est 



