* A. Paql'r. — Noiwillcs ilimiinxtrtitionx 



PREMIÈRE PARTIE. 



De ta formule du binôme de Neivlon , 

 considérée dans le cas d'un exposant entier et positif. 



Avant de nous occuper du développement biiiômial pour ce 

 cas, nous éludierons un développement plus général et qui ren- 

 ferme celui-là comme cas particulier. 



1. — p étant entier, soit à rccitercher le développement 

 auquel donne lieu le produit 

 (\+x)(l-i-ax)(\ + a'x) ....{l+ar-'x). 



L'exposant de a dans chaque facteur indiquant combien de 

 binômes précèdent celui que l'on considère, il y a nécessairemeni 

 p facteurs dans le produit. 



Il est clair que p sera le pins haut exposant de x dans le déve- 

 loppement; d'autre pari, en multipliant entre eux tous les pre- 

 miers termes, indépendants de x, on aura un terme indépendant 

 de a;, ou en x". D'ailleurs tous les premiers termes des facteurs 

 binômes étant égaux entre eux et à l'unité, le terme en x°, dans 

 le produit, est i. 



Ordonnant par puissances entières , positives et croissantes de 

 la variable a; , le développement aura la forme 



B = l + AiX -{■ A^x°- + ...-^-Aj.x". 



Il est évident, en effet , d'après la composition des facteurs, qu'il 

 ne pourra jamais se présenter dans D de puissances fractionnaires 

 dex, et encore bien moins d'exposants négatifs. 



Les quantités A,, A,, A, , Ay_iAj, sont des coefficients à 



déterminer, fonctions seulement de a , et de ses diverses puis- 

 sances ; cherchons la composition de ces coefficients. 



Il était nécessaire de vérifier, comme nous venons de le faire , 

 la forme du développement D; car ainsi cette forme n'est plus une 

 hypothèse, mais bien un fait. Trop souvent il arrive dans l'emploi 

 de la niélhùde des coefficients à déterminer, de donner gratuitement 

 il un dévclojipcment la forme que cette méthode assigne; dans la 



