2 A. Paqle. — Nouvelles dêmonstrntions 



Comme préliminaires établissons trois propositions dont les deux 

 premières appartiennent à la divisibilité des fonctions algébriques , 

 et la troisième aux identités algébriques. 



TiiÉonÉME I. 



a et h étant deux fonctions quelconques , et m un nombre entier 



a" 

 le quotient r ne peut être entier. 



Démonstration. Déterminant par les procédés connus, un nom- 

 bre n de termes du quotient , on aura : 



n"» a"""" 6" 



. = n"-' + a°-'6 + . . . . -f o"^" 6"-' + 



a — 6 a — b 



Donnant dans le reste ;- , à w sa plus grande valeur m , 



a — 



c'est-à-dire ayant cberché le »«'"""' terme 6™""' du quotient , on a 

 pour reste 



a — b 

 Or, ce reste ne peut jamais être nul, puisqu'il faudrait que 

 6'" = 0. 



Corollaihe. 



La différence des puissances semblables de deux fonctions algé- 

 briques est multiple de la différence de ces mêmes fonctions. 



Soit donc à prouver que a" — ô™ est divisible sans reste par 

 a — 6, a et 6 étant deux fonctions quelconques cl m un nombre 



r. 1 1- • • "■" — ^'" , .. a"" 

 entier. Comparant la division j— , à celle 



a — 6 a— b 



dut immédiatement que le quotient conserve la même forme et 

 que le reste correspondant au wj'*'"^ et dernier terme du quotient, 



6°— 6" 



est 



a — 6 



Et l'on voit que le reste est nul. — Le quotient a la forme 

 „»>-< 4- d"--» 6 -f- . . . a"'-" 6"-' -f . . . ab-"-^ -f 6"*-' . 



