I. — Nouvelles démonstrations de la formule du binôme 

 de Newton , 



par A. Pùque , 



riiartSSLUR DP, JIATIIÉWA'IIQLES A l/ATHK.NEt: K'.IIAL UE LIliuE. 



FORMULE BINOMIALE.. 



L'élévation aux puissancrs n'est qu'une opération de niuUi|ili- 

 calion; la formule du binôiiie donnant le développement d'ujio 

 puissance quelconque d'un binôme et par extension d'un polynôme, 

 devrait donc occuper, en Algèbre, une toute autre place que celle 

 qui lui est assignée. 



Ce déplacement a pour cause la méthode suivie pour établir la 

 formule binômiale, méthode longue et peu élégante qui fait dé- 

 pendre la démonstration de la formule d'une théorie qui ne pré- 

 sente d'applications importantes et nécessaires, que dans les par- 

 ties plus avancées des mathématiques. 



En effet, on expose d'abord la théorie des permutations , arran- 

 gements et combinaisons, théorie dont les idées nouvelles se déve- 

 loppent assez difficilement à l'esprit qui n'en aperçoit pas immé- 

 diatement l'utilité; on effectue ensuite le produit d'un certain 

 nombre de facteurs binômes, ayant tous le même premier ternie. 

 On examine soigneusement la forme de ces produits , et bientôt 

 on parvient à soupçonner les lois de leur formation. Mais comme 

 ce n'est là qu'une induction on justifie la généralisation de ces lois 

 par une démonstration. Enfin on suppose égaux les seconds termes 

 des facteurs binômes ; on observe et Ton formule les changements 

 que cette nouvelle hypothèse introduit, et seulement alors on est 

 en droit de reconnaître le développement avancé par Newton. 



Pour donner à la formule binômiale la place que lui assigne, 

 en Analyse, la déduction logique des idées, il faudrait trouver une 

 démonstration élémentaire indépendante de la théorie des permu- 

 tations , arrangements et combinaisons : tel est le but que s'est 

 proposé l'auteur de ce travail. 



