Arithmétique et AIr/ébrc. 4Î) 



De là on voit que les sommes des b premiers nombres entiers , 

 de leurs carrés et de leurs cubes sont : 



5«(« + 0,X«+l)(2n+l) et \n%n-\-iy. 

 De sorte que la somme des cubes des n premiers nombres en- 

 tiers est toujours le carré de la somme de ces n nombres. Et si M 

 est infini, on trouve, comme plus haut : 



jn=ï^n"-,J'n°^in^ et yn'=j»*. 



De même, les sommes respectives des n premiers nombres ira- 

 pairs, de leurs canes et de leurs cubes sont : 



et /\2m— l)' = «=(2;i=— 1). 



Pour n infini, les deux dernières se réduisent à |»i' et à 2n*. 

 — Dans ces applications, S» est nul; mais il a parfois une valeur 

 dont il faut tenir compte. Par exemple , l'identilé 



2n— l=i(2n— l)(2n-fl)-i(2n— 5)(2« — 1), 

 donne /(2n— 1) =i(2«— l)(2»+l)+i = n^ 



Par le procédé ci-clcssus, on peut trouver et sommer une mul- 

 titude de séries numériques , plus ou moins remarquables. Par 

 exemple , ayant 



l 1 i l 11 



et 



n(n+l) n w-j-l ("2«— 1X2k-|-1) 2(.2)î— 1) 2(2w-fl)' 

 il vient successivement les deux formules : 





._.-'_ 



«(« + )) « + 1 M+1 ' 



1 . 1 



(2n-l)(,2B+l) ' 2[2« + l) 2H-t-l 



Pour n infini , la première de ces formules se réduit à l'unité et 

 la seconde à 3. 



Séries littérales. La série est dite littorale lorsque le n ièmo 

 terme renferme d'autres lettres que n ; mais le procédé ci-dessus 

 peut encore faire connaître parfois la série littérale dont on s'est 

 donné la somme des n premiers termes en fonction entière et ra- 

 tionnelle de n. Par exemple , il est clair qu'on a successivement : 



Sn=an-^\n{n — l]r ; d'où S„_i=a(n — 1)+5(" — 0(»* — -)''' 

 et a-\-nr — r=Sn — S„_i. Donc /(o + nr — r)=S„ ou bien 

 «4-(a + r)+(a+2r)-[-...4-(a + nr — r) = an-f5n(n— 1)r. 



