4-G J.-N, i\oiiL. — Théorie infinitésimale a-piiUquée 



Le second membre exprime clone la somme des n premiers ter- 

 mes de la progression arithmétique , ou par différence , dont les 

 nombres constants a et r sont le premier terme et la raison. D'ail- 

 leurs, r quelconque peut être négatif ; cl si n est infini, il viciil 

 /(a-{-nr — r)=inV. 



De même, il est elair qu'on a successivement : 

 _ „(,.._j) ^ «(->•■-'- 1) 



r — 1 r — 1 



Donc far"-'' = S„ ou a-\-ar + ar°- + . . . + of "-' = — — — . 



Le second membre exprime la somme des n premiers termes de 

 la progression géométrique , ou par quotient , dont a est le premier 

 terme et r la raison, positive ou négative quelconque. 



TeBMES ALTEtiNATIVEMENT POSITIFS ET NÉGATIFS. La métliode dcS 



iihntités, pour découvrir et sommer certaines séries numériques, 

 s'applique aux séries dont les ternies sont alternativement positifs et 

 négatifs. Par exemple, considérons l'expression ±\{^n-{-^), 'e 

 signe -\- du double signe répondant à n impair et le signe — an 

 pair. Cette expression change donc de signe quand on y remplace 

 n par n — 1 , et cela donne zp{{'2n — 1). Soustrayant celte se- 

 conde expression de la première et réduisant, il vient 

 ±n=±i(2«-fl)±i(2«-l). 



Posant donc successivement )i = 1, 2 , ô , 4, ... , w , ]iuij ajout.uit 

 membre à membre les n égalités résultantes et réduisant , on 

 trouve 



1 — 24-5— 4+... ±n ou /±7i=±i(2«-l-l)+^. 



De même, ±(2« — l) = ±n±()i — 1) donne 



1 — ô-Ho— 7-f ... ±(2«— 1) ou /±(2« — l) = ±n. 



Par la méthode des identités , on trouve aisément : 



/±«' = ±i»î(n+l),/±(2n — l)5 = ±i(2u— I)(2n4-1)— j; 



l_3.2-j-S.2'— 7.2=4-...=fc(2n— 1)2"-i=±KGh— 1)2"— i, 



/±n^.2"-' = ±^(9»i'-f 6)1— 1)2"— i. 



II faut toujours bien se rappeler que dans chacune des formules 

 précédentes, le signe -f- du double signe répond à n impair et le 

 signe — à w pair; comme dans celle-ci : 



l_-3-|-6_104.15— 2l+...rtH(H-l-l)=±^»(n-f2)-f-J;(l±0- 



