Arithmétique et Algèbre. 47 



Réci|)roqiicment, si le n ième terme de la série était donné, par 

 exemple ±yi(ii-\-\) , il serait presqu'impossible, même en tâton- 

 nant, de calculer la somme des n premiers termes. En général, 

 quand le n ième terme est donné en fonction rationnelle de n, si 

 la somme des n premiers termes de la série existe , on parvient fort 

 rarement à la calculer par la voie directe, si ce n'est pour les pro- 

 gressions, etc. 



Puissances a exposants infinis. I. Si un nombre surpasse l'unité , 

 ses puissances positives croissent avec leurs exposants et deviennent 

 infiniment grandes avec eux. 



Soit r;>l et soit effectuée la multiplication par r — 1 : on a 



(r''-i+r'^2^...-|-r«+r-{-l)(r — l) = r''— 1. 



Posant r — \=x et observant que chacun des n termes du mul- 

 tiplicande est )>1, on verra que ce multiplicande >m. On a donc 



Mjc<^r"— 1; d'où j-"]>>ix-}-l. 



Comme x est un nombre fini constant, il est clair que le pro- 

 duit nx croit avec n, aussi bien que r", et que si n devient infini- 

 ment grand, il en est de même du produit nx , aussi bien que de 

 r". Ce qu'il fallait démontrer. 



II. Si un nombre est moindre que l'unité , ses puissances posi- 

 tives diminuent pendant que leurs exposants augmentent et devien- 

 nent infiniment petites quand ces exposants deviennent infiniment 

 grands. 



Soit r<^l et soit posépr=l ; d'où p^r^=l et r''=l :/}". Comme 

 r<^l , on a p^l. Donc p" croit avec n et r" décroit : si n est 

 infini, il en sera de même de p", et r" sera au contraire infi- 

 niment petit; c'est-à-dire qu'on aura r"=i. Ce qu'il fallait dé- 

 montrer. 



Progressions géométriques. Si l'on divise a par i — r, en or- 

 donnant par rapport aux puissances ascendantes de r, il est clair 

 que le quotient admet un nombre illimité ou infini de termes , vu 

 qu'il y aura toujours un reste; et si l'on s'arrête au n ième terme ( 

 de ce quotient , savoir f = ar"""^, on trouve 



- = o + ar -{- ar- -|- ar' -|- ...-}- I 



l—r "'->"■ i " i ■■■ > i 1_,. 



Soit S la somme des n premiers termes de la progression géo- 

 métrique dont a est le premier terme , r la raison et t le n ième 



