48 J.-i\. Noël. — Théorie infinitésimale appliquée. 



terme : ridenlité précédente donne 



- «—«>•" ^ rt — a 



S = et S = • . 



1 — r r — 1 



Si nous supposons le nombre n de termes infiniment grand , 

 nous ne pourrons jamais calculer tous ces termes ; mais S n'en sera 

 pas moins la génératrice constante de la somme des termes de la 

 progression, supposée continuée à l'infini; et il faut calculer cette 

 génératrice. Or, la progression étant continuée à l'infini, il n'y a 

 pa'i de dernier terme; c'est-à-dire que a/" est indéleriuinable et doit 

 disparaître de l'expression de S absolument comme s'il était rigou- 

 reusement nul, bien qu'il ne puisse jamais le devenir. 



En effet, le terme ar" est variable avec oo ; si donc il devait res- 

 ter dans l'expression de S, la génératrice constante S serait toujours 

 égale à une quantité variable; ebose évidemment absurde. Le terme 

 ar'" disparaît donc de l'expression de S, non parce qu'il est nul , 

 non parce qu'il est infini ou infiniment petit, mais parce qu'il est 

 variable ; et il en résulte S = a:(l— r). 



La génératrice de toute progression géométrique , continuée à 

 l'infini , est donc la fraction dont le numérateur et le dénominateur 

 sont le premier terme de la progression et l'unité moins la raison. 

 Et c'est ce qu'on a déjà vérifié en effectuant la division de a par 

 i—r. 



Evaluations numériques. I. Pour les évaluations numériques , la 

 génératrice exprime exactement la somme de tous les termes de la 

 progression, continuée à l'infini, cbaque fois que la raison r, posi- 

 tive ou négative, est moindre que l'unité : c'est alors le résultat 

 d une infinité d'additions partielles successives , ainsi effectuées sans 

 autres calculs que la division de a par \ — r. 



Dans le cas de r<l , la génératrice proposée est aussi la limite 

 constante de la somme de tous les ternies ; car plus on additionne 

 entre eux de premiers termes de la progression , plus on approche de 

 cette génératrice constante , à laquelle ec|)endant on ne parviendra 

 jamais, puisqu'il sera toujours impossible d'ifl'ecluer une infinité 

 d'additions partielles successives. La progression alors, déjà décrois- 

 sante par r <;i , est appelée série convergente. 



IL La progression serait une série divergente si r étant > I , 

 on avait r = 2, par exemple. Car alors, plus on prendrait de pre- 

 nuers termes de celte progresssion croissante, plus on s'éloignerait 

 de la véritable somme cherchée , laquelle se réduit ici à — a. 



