Arithmétique et Alrjèbrc. 49 



Cela tient au terme complémentaire (sous-enlendu) qui doit tou- 

 jours accompagner chaque développement en série et qui n'en dis- 

 paraît réellement que pour calculer la génératrice constante; car, 

 que « sok fini ou infini, le terme complémentaire est toujours va- 

 riable. Ici par exemple, si l'on s'airéle aux cinq premiers termes 

 du quotient , il est clair que le terme complémenlaire se réduit à 

 — 52o, et qu'on a exactement 



- — ~ ou • — « = « -f 2«-l-'l«-|-8a-{- IGa — 32a. 



Mais la fraction algébrique asur(l — 2) n'en est pas moins la 

 génératrice, par division, de la progression proposée, continuée à 

 l'infini. — ■ On voit que les séries divergentes ne peuvent servir aux 

 évaluations que sous la condition de calculer le terme complémen- 

 taire; chose souvent impossible. 



ÎII. Enfin, si r=l et qu'on ait égard au terme complémentaire 

 de la progression , continuée à l'infini , on trouve 



ou - = aX'» + 7r; d'où % = aX'X'- 



1—1 '" ' 



Ce résultat est exact, puisque oo est indéterminé. 



Procédé plus simple. Voici le procédé le plus simple pour cal- 

 culer la génératrice x de toute progression géométrique , censée 

 continuée à l'infini. On a d'abord 



a; = a-|-ar + a>'--f-ar'-f-a>-'-|- etc.; d'où 



a;= a -(-}•(« -l-ar-f-ar*-j- ar'-l- etc.). 



Comme un nombre infini ne cesse pas d'être infini lorsqu'on en 

 retranche une ou plusieurs unités , on voit que la progression géo- 

 métrique entre parenthèses est identique avec la proposée ; elle a 

 donc la même génératrice x, et l'on a 



a; = a-{-rx; d'où x= — 



-r 



La valeur de x pourrait aussi s'écrire comme il suit : 

 a; = a-har-l-r*(a+ar-l-or' + etc.); 



d'où a:=a-}-ar+ r-x, puis x— r=x=a(l-{-r) et (1 — r^x^a, 

 comme plus haut. 



Par ce procédé très-siraple, on trouve la fraction ordinaire géné- 

 ratrice de toute fraction décimale périodique. On trouve aussi la 

 génératrice de toute fraction coitinue périodique et de toute série 



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