îJO J.-N. Noël. — Théorie iiifinitèshnalu appliquée, 



périodique illimitée, telle que 



(i , b _ a _ b , a b , ac-A-b 



J _J r I atn . ' . 



X 



= 7 + 7^+ :T + ;j+7r+3- + etc.= 



c c c c c c c' — 1 



les lettres a, b, c désignent des nombres entiers , a et 6 premiers 

 avec c, et b pouvant être négatif. 

 De plus, le nombre n de termes étant infini, cherchons x dans 



Suivant que n est impair ou pair, on a x = a ou x=0. Or, 

 aucune de ces deux valeurs de x n'est la véritable, vu que le nom- 

 bre infini n étant absolument indéterminé, n'est pas plutôt impair 

 que pair; la valeur véritable de x doit donc dépendre également 

 de ces deux-là ou être leur demi-somme, savoir |(«+0) ou \a. 



On a, en effet, x = n — (a — a-f-o — a + a — etc.); d'où 

 x=a — X et x=|a= a:(l-[-l). 



Appliquant le procédé ci-dessus lorsque chaque signe radical 

 porte sur tout ce qui le suit, le nombre de ces signes étant infini, 

 on trouve : 



x = >/2l/2l/2^/:2ete. =l/(2a-); d'où x = 2; 

 x=V/2-j-j/24-l/2+etc. =^/(2+x); d'où x=2 ou — 1. 



Il serait impossible de calculer autrement x, dans le second 

 exemple; et l'on peut interpréter la valeur — 1 : elle vient de ce 

 que les radicaux sont alternativement positifs et négatifs. On trouve, 

 en effet, 



x = ^/2—(/2-l-v/2 — etc. = 1/(2 — x) et x = l ou —2. 



PnoDurrs d'une infinité de facteurs finis. Si r<^l , soit p le 

 l)roduit du nombre infini de facteurs binômes l-\-r, 1-f r^, l-\-r^, 

 \-{-r', l-j-r", elc. et soit q le produit de leurs valeurs inverses; 

 ù'où pq = l. Effectuant les premières multiplications, dansp, on 

 verra bientôt que;) est la génératrice de la progression géométrique 

 décroissante à l'infini , dont 1 est le premier terme et r la raison , 

 moindre que l'unité : donc 



1 



p = el q=i — r. 



1 — >• 



Ces deux valeurs sont des nombres finis; ainsi il n'arrive pas 

 toujours que le produit d'une infinité de faeleurs , tous [>lus grands 

 ou tous plus petits que l'unité, soit infiniment grand ou infiniment 



