Arithmétique et Algèbre. 31 



pelil : cela n'a lien que quand tous les facteurs finis sont égaux , 

 comme on l'a déjà démontré. Ces déraonsirations sont donc néces- 

 saires. 



Formule du dinome. L'examen des puissances seconde, troisième, 

 quatrième, ... du binôme 1 + x a conduit, par induction, au déve- 

 loppement de (1^3c)", n étant un nombre entier positif. La loi des 

 exposants de se est évidente dans les développements de (l+x)^, 

 {l-\-xy, {\-\-xy, etc. Mais il n'en est pas de même de la loi des 

 coefficients , et la diflieulté est de savoir comment chaque coefficient 

 se compose de l'exposant. Newton a deviné le premier celte com- 

 position, sans doute après plusieurs essais inutiles : il paraît même 

 qu'il s'est borné à la seule induction pour écrire la formule déve- 

 loppement de (l + ac)". Or, la multiplication par l-\-x donne suc- 

 cessivement : 



(H-oc)== 1+2x4- x2, (l+a)= =^1 -f 3a; -f 5x-+ xS 

 (1 1 jc)' = 1 -l-4.x+6x2-|-4.x= -1-x'. 



Pour trouver la composition des coefficients avec l'exposant, on 

 observe que le coefficient 1 du dernier terme dans le premier dé- 

 veloppement, et les coefficients ô, 1 des deux derniers ternies dans 

 le second , sont : 



2(2—1) _ j(5-l) 5(3— 0(5 —2) 



l.-i ' "^~ 1.2 ' 1.2.5 



De même, dans le développement de (1-f x)*, les trois derniers 

 coefficients 6,4,1 sont exprimés au moyen de l'exposant 4 comme 

 il suit : 



4(4— n , 4(4—1X4—2) 4(4-l)(4-2](4— 5) 



1.2 ' 1.2.5 ' 1.2.5.4 



De là, l'exposant n étant un nombre entier quelconque, on est 

 conduit à poser : 



.. , ^ . n(n — 1) „ n(n — l)(n — 2) . 

 (lJ\,xy=l+nx+.^j-^x'+-^-^ '-x^ + ...+ 



«(»-l)...(«-^4-2) ., . n(»-l)-(n-i>+l) ^ 

 1.2...(u — Ij * "*" l-'-I.-.v 



Dans cette formule, développenent de (I+x)^ le coefficient 

 de x" a pour numérateur le produit des v facteurs décroissants 

 n,n—l,n—'2,n — o, ...,n — v-{-l , et pour dénominateur le 

 produit des v facteurs croissants , 1, 2, 5, 4, ... r. La loi de for- 



