?J2 J.-N. Noël. — Théorie iitfiititcsimcilv appliquée. 



rnaiion des termes successifs de la formule est bien mise en évi- 

 dence , d'après cela ; et il faut démontrer que cette formule s'ap- 

 plique pour toutes les valeurs entières et positives de l'exposant n. 

 A cet effet, si l'on niulliplie les deux membres de l'identité pré- 

 cédente parle binôme l-|-a;, les deux produits seront idenlicpies et 

 le premier sera (l-fï)"*'. Quant au second produit, il est clair 

 que le coëlficient de x" est 



n(ti—l)...(n—v-\-'2)(n — v+'i) «(m— 1)...(?t — t)-f 2 ) 



1.2...(u— J)i) '' 1.2...(t;— 1) 



_ n~v+i H--»— 1)(»t— 2)(».-.")...(» — r-f2) 



~^ V "^ ^ 1.2.5.4... («—!) 



(w-f 1>(m.— 1)(n— 2)(»— 5) ... (>t-t!-|-2) 

 1.2.o.'i ...(u — i)v 



C'est précisément ce que devient le coefficient de a;", dans le se- 

 cond membre pioposé, quand on y change n en w-f-l. De sorte 

 qu'en changeant n en n-\-\ dans les deux membres de l'identité 

 proposée, on a leurs produits cherchés par i+x. On voit donc 

 que si la formule , développement de ( l-|-x)", est vérifiée pour une 

 certaine valeur entière de l'exposant n, elle est vraie encore pour 

 tine valeur plus grande d'une unité. Or cette formule est vérifiée 

 pour n=2, 3 et 4 ; donc elle est vraie aussi pour n = o, puis pour 

 n=6, n=7, et en général pour toutes les valeurs entières et posi- 

 tives de l'exposant n. 



Tel est le procédé le plus naturel et le plus simple pour décou- 

 vrir et démontrer la formule du binôme , dans laquelle on peut 

 changer x en — x. Et si l'on pose x==6sura, il vient, en multi- 

 pliant de part et d'autre par a", le développement de (a-|-6)". 



SiiniE BiNOMiALE. Réciproquement, les variables n et a; étant des 

 nombres ou des symboles quelconques, cherchons l'expression im- 

 médiate , ou la plus simple, en n et œ, de ij=((ii, x) dans l'équa- 

 tion identique : 



. , , n(n — 1) „ v(n — 1)'w — 2) 

 y-' + »^ + ^-jT2^ ^ + 1.2.5 ^"° + - 



n{n-]){n~^)(:,i-Z) ... (n-v+l) ■ 



H , a - ■ X" -f etc. 



1 . 2 . . 4 . . . u 



Pour calculer l'expression immédiate de la fonction inconnue;/, 

 procédons par induction en descendant aux valeurs pariiculiéres 



