Arilliniélique et Algèbre. oo 



de n, ft posons d'abord n = ô, par exemple : dans ce cas l'équa- 

 tion idenlique devient 



?/ = l -j-ôx-[-5a;2+?^' = (l-j-x)" , 

 vu que ù = n. De même, soit k= — 1 : on a 



y=i — x+x^ — ac' -j-** ~ 6'c- = ^•(l + ='^) ? 

 d'où y = (l-|-a:)~'=(l+a;)'', car — l = n. 



Pareillement, si Ji^j, Féquation proposée donne 

 y = \ +ix — ^x'-+^x-' —J^x'-{--^,x' —etc. 



Or, on trouve la série du second membre en prenant la racine 

 carrée de l-\-x, les termes étant ordonnés par rapport aux puis- 

 sances ascendantes de x; on a donc 



y=y/(l-{-x) = (\-{-xf= (l-\-xy, vu qu'ici j = «. 



Cela posé, puisque n et x désignent des nombres ou des sym- 

 boles quelconques, je dis que : quelle que soit actuellement l'ex- 

 pression immédiate de y en n et x , la forme générale de cette ex- 

 pression reste absolument la même pour toute valeur particulière de 

 n : tel est l'axiome de yénéralisalion en Algèbre. 



D'abord la valeur particulière d'une lellre ne saurait évidemment 

 modifier aucunement le rôle que cette lettre remplit dans la fur- 

 mule générale : en sorte que si n est d'abord un exposant , n reste 

 encore exposant pour n = 4, — f,V/( — 2), elc. Ensuite, n étant 

 indépendant de x , la valeur particulière de n ne peut amener au- 

 cune réduction entre n et x dans l'expression immédiate de i/; la 

 forme générale de cette expression reste donc absolument la même; 

 ce qu'il fallait démontrer. 



Maintenant, puisque la forme de l'expression de y ne change 

 point par ?i = 3,— l,i, et que chaque fois on a 2/==(l-Fx)", il 

 s'ensuit qu'avant ces hypothèses on avait déjà ?/=(l-|-x)". Donc 

 enfin pour toutes les valeurs de n, rationnelles ou irrationnelles, 

 positives, négatives et même imaginaires, la série du second mem- 

 bre de l'équation identique proposée est toujours le développement 

 de (l-j-x)" : c'est la série hinomiale la plus générale et en même 

 temps la plus simple. — On voit que la méthode fonctionnelle est le 

 procédé le plus simple et le plus direct pour découvrir la formule 

 de Newton et en démontrer la généralité complète. 



Somme générale des puissances m ièmes. Proposons-nous main- 

 tenant de calculer l'expression immédiate ou la plus simple, en 



