îj'i J.-N. NoF.L. — Théorie infuiilésimale ajipliiiucn. 



n et m , (le la somme /n" des puissances m ièmes des n premier-! 

 nombres entiers , n étant infini et m un exposant quelconque réel , 

 positif ou négatif. 



l" L'axiome de généralisation démontre que la forme actuelle 

 de l'expression de /h™, en n et m, ne change aucunement lorsque 

 l'exposant m , restant indéterminé , devient entier positif; mais alors 

 on sait (p. 44) que /?i™ = M'»+':(?n+l). Donc puisque la forme 

 de l'expression de /ii" est restée la même, il s'ensuit que pour 

 toutes les valeurs rationnelles, irrationnelles, positives nu néga- 

 tives de l'exposant m, on aura toujours, n étant entier infini , 



1 

 m+l 



2° La somme /n™ se réduit à «""+' ou à zéro suivant que tous 

 ses n termes sont égaux au dernier «™ ou qu'ils sont tous nuls ; 

 donc w-f-l est le plus grand des exposants de n, dont aucun n'est 

 zéro, dans l'expression de/n"*. Et comme tous ces exposants /tiiî's 

 de n infini vont en diminuant, il s'ensuit que chaque terme de fii" 

 qui suit le premier on'"+'^ est contenu une infinité de fois dans ce- 

 lui-ci ; donc on doit le négliger ou le regarder comme absolument 

 nul à l'égard de ce premier, et l'on a 



/M*" •= aJi'"+i ; d'où /(m— !)«• = a(«— l)'"^' , 



car a étant indépendant de m, il reste absolument le même quand 

 on change n en n — 1. Développant donc, d'après la série bino- 

 miale, la puissance de n — 1 dont l'exposant 7n-{-l est quelconque, 

 puis négligeant tous les termes de ce développement qui suivent les 

 deux premiers, comme nuls à l'égard de ces deux premiers, en 

 vertu du principe infinitésimal ; réduisant et observant que 



p(™ — /(« — ])" = n"', on verra que 



1 1 



«" = a(M! + ])n"'; d'où «= et /«"' = 



i-{-ni 1-+-W 



Telle est la formule cherchée. Mais ici l'exposant «i est quel- 

 conque réel; et si })i = — 1,JH^ — 2 et m= — j, on trouve 



.//i-' = i,//j-"-=-i et/,r =2l/)i. 

 n 



Les deux premiers résultats étant absurdes , on voit que m né- 

 gatif doit être moindre que l'unité. 



Application. Soit a un nombre donné quelconque; supposons- 



