Arithmétique et Alijèbre. îjb' 



le divisé en un nombre infini n de parties égales à a; et infiniment 

 petites, d'où a=nx : il s'agit de calculer la somme S de tous les 

 termes , en nombre infini n, de la série dont le v ième terme a pour 

 expression : 



A cet effet, on prend successivement v==l, 2, 3, 4, ..., n dans 

 cette expression, puis on ajoute entre elles les n expressions résul- 

 tantes, en réduisant par nx = a : cela donne 



S — a — X" Ai" " + 2a--x^/n— âx'/w^ . 

 d'où S=«— 2^/a-fl — a'a;. 



Le terme — a'x est infiniment petit avec x; il est donc nul à 

 l'égard des nombres finis, et l'on a exactement 



S=a-2^/a-f l = (v/a — 1)3. 



Les trois premiers termes de l'expression ci-dessus du terme gé- 

 néral en V fournissent trois termes à la somme S chercliée de la 

 série, parce que dans chacun l'exposant de v soustrait de celui de x 

 donne 1 pour reste; tandis que le quatrième terme — ^t^x* ne 

 fournit rien à la somme S , parce que l'exposant 2 ôté de l'exposant 

 A ne donne pas 1 pour reste. En général , on voit que Vexprcssion 

 du V ième terme de la série étant donnée , il faut , pour la simplifica- 

 tion , y supprimer d'abord chaque terme où l'exposant de v sous- 

 trait de celui de x ne laisse pas 1 pour reste ; car ce terme ne four- 

 nit rien au résultat final des calculs. Aiiisi les trois derniers termes 

 du développement de (î;--j-i')' a:' doivent élre sup()rimés, ce qui 

 revient à supprimer d'abord v dans (tr -\-vyx'' et cela donne sim- 

 plement v^x''. 



Remarque. On sait que la série binomiale , a l'aide de la règle 

 des variables ou du principe infinitésimal, conduit directement et 

 avec facilité aux plus simples séries générales exponentielles et loga- 

 rithmiques. Mais, ce qui est fort remarquable, c'est que la formule 

 du binôme, démontré* seulement pour l'exposant entier positif, 

 conduit directement , à l'aide des infinis , aux deux séries exponen- 

 tielle et logarithmique ci-dessus. 



SÉniES EXPONENTIELLES. L Soit d'abord posé }i;j = 1 , m étant un 

 nombre infini et par conséquent p un nombre infiniment petit. Si 

 l'on développe (i+pY, d'après la formule du binôme, le terme 

 général de ce développement est, à cause de np = \ , 



