SG J-N. Noël. — Théorie infinilésimale appliquée. 



n(ii—H)(H — T)... {n — v-Jr\) ([—p]([—^p)...(] — vp + p) 



i-'-2-ô...v ^ ~ I.2.3...W 



= \;0-p){\-m-v){h-V) - (— -?)■ 



En vertu du principe infinitésimal, ce terme général se réduit à 

 \ sur2.â'4 ... V. Ainsi on aura toujours 



(i+,)^=2+H2-!3+27^, + - + 2-.5x::7+^"^- 



Soit e la valeur de la série convergente du second membre : on 

 démontre que la somme de tous les termes, en nombre infini , qui 

 suivent le v ième terme t, est moindre que le quotient de t par v. 

 On démontre aussi que le nombre e n'est pas rationnel et que 

 par suite on ne peut le calculer que par approximation. On a 

 trouve 6 = 2,71828182843904.3 etc. 



Le nombre e est donc compris entre 2 et 3 , et l'on a e=(l+p)''. 

 De sorte que quand l'exposant n est infini , le second terme infini- 

 ment petit du binôme 1+p ne peut être négligé. On voit en outre 

 que le produit d'une infinité de facteurs égaux , tous plus grands 

 (pie iunilé , est iin nombre fini. Il existe une proposition analogue 

 démontrée (p. 50). 



II. Comme le nombre p infiniment petit n'est pas rigoureuse- 

 ment nul , on pourrait craindre qu'en négligeant p dans chacun 

 des termes, en nombre infini , du développement de (!-[-;))", il en 

 résultât une erreur totale /?«/e sur la valeur du nombre e. Or, l'er- 

 reur due au terme général plus haut est évidemment la plus grande 

 possible quand tous les binômes se réduisent à — p; et alors l'er- 

 reur due au terme général est moindre que =bjj"-i, expression où 

 2 est la plus petite valeur de v. De sorte que l'erreur totale est 

 moindre que la génératrice de la progression géométrique décrois- 

 sante à l'inlini : p — p-^p'' — p' -h etc. D'ailleurs, comme celte 

 génératrice psur(l-j-p) est moindre que p, on voit à plus forte 

 raison que la plus grande erreur totale est moindre que l'infiiii- 

 ment petit p ; elle est donc rigoureusement nulle à l'égard des nom- 

 bres finis. Ainsi l'on peut, sans erreur finale appréciable, négliger 

 p dans chaque terme du développement de (l-j-p)". 



III. On démontre de même que le développement de (1 — p-f se 

 réduit à I exactement ou plutôt sans erreur finale appréciable. 



