Arithmétique et Alyèbre. 57 



Ayant donc 



il en résulte (1— p)"= 1: e = e-'. 



Ainsi , même quand l'exposant est infini , le premier ternie du 

 binôme étant un nombre fini et le second un nombre infiniment 

 petit du second ordre, on doit négliger eelui-ci absolument comme 

 s'il était rigoureusement nul; et à plus forte raison doit-on le né- 

 gliger quand l'exposant est un nombre donné fini. Cela démontre 

 le principe infinitésimal, dans tous les cas. 



IV. Soit z un nombre rationnel ou irrationnel quelconque : il 

 est évident que dans np = l, on peut toujours supposer le nombre 

 entier infini n tel que le produit nz soit aussi un nombre en- 

 tier infini. D'abord si s est une fraction finie, le nombre infini 

 n peut être supposé un multiple infini du dénominateur. Ensuite, 

 si z est irrationnel, il est une fraction dont les deux termes sont 

 entiers infinis. Il suffit donc alors de supposer n égal au dénomi- 

 nateur, pour que le produit ns soit un nombre entier infini. 



Cela posé, ayant e = (l-|-p)'', on a aussi e==. (l-l-p)"'. Or l'ex- 

 posant iiz est un nombre entier infini positif; développant donc 

 d'après la formule du binôme, réduisant par np = l et appliquant 

 le principe infinitésimal , comme pour la série expression de e , 

 on trouvera 



Telle est la série exponentielle la plus simple et d'ailleurs très- 

 générale ; car opérant de même sur e— "^ = (1 — p)"' , on trouve 

 exactement ce que devient cette série quand on y change z en — z. 

 La série précédente est donc vraie pour toutes les valeurs de z, ra- 

 tionnelles ou irrationnelles , positives ou négatives. 



V. Par les procédés ci-dessus , on démontre que : 

 e.'='(i+py'={l-\-pzy et e-'={l—py' = (l—pz)'>. 



Dans ces formules remarquables, z est un nombre fini quel- 

 conque, rationnel ou non, tandis quep est un nombre infiniment 

 petit, n et nz deux nombres entiers infinis. 



Application I. Un vase peut se remplir par un tuyau ne four- 

 nissant que de l'eau et se vider par un autre versant uniformé- 

 ment c litres de liquide par heure, comme le premier. Pendant 

 quel nombre x d'heures doit-on faire couler les deux tuyaux à la 



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