33 J.-N. Noël. — Théorie infinitésimale appliquée. 



fois , pour que le vase conlenanl d'abord a lilres de vin pur , nVn 

 renferme plus que 6 litres à la fin? On suppose que l'eau enlraiit 

 dans le vase se mêle sur-le-champ et exactement avec le liquide que 

 ce vase renferme. 



Soit n le nombre infini d'instants égaux à p contenus dans une 

 heure , d'oîi np:=l , et soit posé ad=c : on trouvera 



a{\ — dpy"=b; d'où a-e-'^^=6. 



Cette équation est facile à résoudre par logariihmescn observant 

 que le logarithme ordinaire de e est /e=0,4ô42943. 



Application II. Quelle somme x devrait-on rendre au bout de 

 m années , pour une somme a empruntée pendant ce temps au taux 

 de r pour 1 annuellement si , à chaque instant de la durée de 

 l'année, l'intérêt échu se joignait au capital pour porter intérêt 

 l'instant suivant? — On trouvera a!;=e'"'". Si donc a = 10000,m=l 

 et r=:0,03, il viendra x=10ol2 fr. 71. C'est seulement 12 fr. 71 

 de plus que si l'argent était placé à 3 p. 100 annuellement. 



Série logarithmique. Le nombre e ayant la valeur calculée plus 

 haut, soit posé e==l + a;; d'où en prenant les logarithmes ordi- 

 naires de part et d'autre, il vient l(\-\-x):=.zle. L'identité posée 

 devient «"=:= (1 -4- x)", n étant un nombre entier infini. 



Développant les deux membres de l'identité précédente, d'après 

 la série exponentielle et la formule du binôme, puis supprimant le 

 terme 1 commun aux deux membres de l'identité résultante et di- 

 visant par n de part et d'autre , on trouve : 



, Jiz^ . n^z' , , ?i — 1 „ (n — IVu — 2) 



^ (»_1X»_2)(»-5) ... (u-t;+2)(u-D-f-l) 

 "^ 2.3-4... («—!> * +*"'• 



Dans cette identité, tous les termes du premier membre qui sui- 

 vent z ont n pour facteur commun ; ce premier membre est donc 

 de la forme z-\-hn. Quant au second membre, on trouve tous les 

 termes indépendants de n en y posant n = ; ce qui réduit le 

 terme général à ± x" sur v. Soit donc y la série ensemble des 

 termes indépendants de n et soit kn l'ensemble des termes ayant 

 n pour facteur commun : l'identité proposée prend la forme 



z-\-hn^y-\-kn; d'où z = y-\-(Jc — h)n. 



Dans cette équation identique ou toujours exacte , z el y sont 



