Géométrie. S9 



constants avec e et a; , tandis que n infini est variable, aussi bien 

 que A et k; il faut donc que k — /i^O : autrement le nombre 

 constant c serait toujours égal au nombre variable y-\-ik — 11)71; 

 ce qui est absurde. On a donc nécessairement s = y et par suite 

 /(l-]-x)^2/'^- Substituant la série représentée par y; il vient 

 l{l-{-x) = le[x—lx +ia;'— ia:'4-|a:»— fx^ + etc). 



Telle est la plus simple série générale logarithmique , ayant né- 

 cessairement une infinité de termes alternativement positifs et né- 

 gatifs et où chaque coefficient est la valeur inverse de l'exposant. 

 De sorte que pour x=l, la somme algébrique de tous les coëflS- 

 cients est finie, comme égale à l'2 sur le. Dans ce cas la série est 

 lentement convergente : pour que la convergence soit rapide, il 

 faut que x soit beaucoup moindre que l'unité. 



Si x = — 1 , on trouve — IQ'Je pour la valeur de la série har- 

 inonique, somme des inverses de tous les nombres entiers, à partir 

 de x=l- Comme le logarithme de zéro ne saurait se calculer, il 

 en est de même de la valeur de la série harmonique. On démontre 

 en effet directement, par la décomposition en groupes, que celte 

 valeur est infinie. C'est ce qu'on démontrerait d'ailleurs en chan- 

 geant a; en — (1 — i),i étant infiniment petit, d'où li = — 00, et 

 en appliquant le principe infinitésimal dans le second membre ré- 

 sultant. 



Remarque. Je ne m'arrêterai pas à démontrer les autres séries 

 logarithmiques , ni à indiquer leur emploi , soit pour la construc- 

 tion des tables de logarithmes, soit pour apprécier les erreurs dues 

 à la proportion tabulaire. Je pense que les applications précédentes 

 doivent suffire pour bien montrer toute l'importance de la théorie 

 infinitésimale dans l'Algèbre élémentaire. 



Géométrie. 



PRÉLiMiNAinES. Les grandeurs infinitésimales se présentent inévi- 

 tablement, dès le commencement de la Géométrie, pour donner 

 à ses théories toute la clarté et la rigoureuse exactitude dont elles 

 sont susceptibles. On y emploie toujours les infinis, du moins im- 

 plicitement, même lorsqu'on veut les déguiser par d'autres dénomi- 

 nations, par des définitions inintelligibles, des égalités impossibles 

 et des pétitions de principes ou des non-sens, dans de longues et 

 obscures démonstrations. — Ce qui est singulier, c'est qu'en procé- 

 dant ainsi, on [cnse être entièrement logique et plus à la portée 



