Géométrie. 63 



du postiilatum d'Euelide , base de la théorie la plus simple des 

 parallèles. 



Théorème. Dans le même plan , si deux droites AB et CD fcn- 

 conlrenl en A e< B, d'un même coté, la même troisième droite EF, 

 de telle sorte que l'angle externe EAB soit plus grand ou plus ou- 

 vert que l'angle interne correspondant ECD ; je dis que les deux 

 droites AB et CD finissent toujours par se couper étant prolongées 

 suffisamment : tel est le postulatum d'Euelide , dont la démonstra- 

 tion est bien facile , d'après la double propriété caractéristique de 

 l'angle plan. 



1° Puisque l'angle EAB est plus grand que l'angle ECD, il ne 

 peut rester contenu dans ce dernier et en sortira tôt ou tard ; non 

 par EF, limite commune , ni dans le sens de l'ouverture , puisque 

 dans ce sens les deux angles peuvent se prolonger de la même ma- 

 nière à l'infini , et la surface de l'un ne peut dépasser celle de l'autre 

 en ce sens. L'angle EAB ne peut donc sortir de ECD que par CD ; 

 et les deux droites AB et CD finiront toujours par se couper, étant 

 suffisamment prolongées. On voit bien, en effet, que si cette inter- 

 section n'avait pas lieu, l'angle EAB serait toujours contenu dans 

 l'angle ECD et ne serait pas plus grand ni plus ouvert; contraire- 

 ment à l'hypothèse. 



2° Faisant au point A , l'angle EAG = ECD, il est clair que la 

 droite AG tombe dans l'angle EAB. On peut toujours faire glisser 

 sur le plan l'angle EAG, et le côté EA sur EC jusqu'à ce que le 

 point A tombe en C; d'où alors AG coïncide avec CD. Dans ce 

 mouvement , le côté AG ne cesse pas un seul instant d'avoir un 

 seul point sur AB , et ce point s'éloigne de plus en plus du point 

 A jusqu'à ce que AG coïncide avec CD, où alors le point mobile 

 est commun aux deux droites AB et CD ; lesquelles se coupent en 

 ce point, pouvant être infiniment éloigné (et ceci arrive quand 

 l'angle EAB ne surpasse l'angle ECD que d'un angle infiniment 

 petit ou moindre que le plus petit angle assignable). 



Corollaire. Dans le même plan , si deux droites font avec 

 une même sécante deux angles correspondants ou interne-externe 

 inégaux entre eux, ces deux droites finissent toujours par se ren- 

 contrer d'un côté ou de l'autre de la sécante. 



Cette dernière proposition rend, comme on sait, la théorie des 

 parallèles la plus claire, la plus simple et la plus complète possible, 

 en lui donnant une exactitude rigoureuse. 



