(>8 J.-N. iN'or.L. — Théorie iiijiiiikshuale appli.jiii'e. 



ques; voici donc le procédé le plus simple et le plus rigoureusement 

 exact pour y démontrer les proportions. 



Méthode des proportions. Deux quantités continues de même 

 nature, ayant toujours un rapport , expriinable ou non , ont aussi 

 toujours une mesure commune, assignable ou non, finie ou infi- 

 niment petite, comme on l'a démontré plus haut (p. 52). 



Cela posé, considérons quatre quantités continues de même na- 

 ture deux à deux , savoir A et B, Cet D, et supposons ces quan- 

 tités tellement liées entre elles que, si C et D sont divisées en a et 

 p parties égales à leur commun diviseur x, les quantités A et B 

 soient aussi divisées en n et p parties égales ou équivalentes à v. On 

 a donc simultanément 



A= nv, li = pv , C = nx et D ^px ; d'où 

 A:B = Hr;j3îJ ^ n;/j et €:!>= nx:px=n'.p. 

 De là on voit donc que A:B;;C:D. 



Telle est la méthode des parties égales pour démontrer directe- 

 ment et très-simplement toutes les proportions entre quantités con- 

 tinues, en Géométrie et en Mécanique. — Il en résulte, par une 

 parallèle à la base d'un triangle , que deux infiniment petits ont tou- 

 jours nn rapport fini. 



Autre méthode. Presque tous les auteurs cherchent à éviter la 

 mesure commune infiniment petite et pensent y parvenir par la 

 distinction des deux cas : commensurable et incommensurable. Ils 

 pensent même être rigoureusement logiques en appliquant au se- 

 cond cas, soit la méthode des variables, soit le plus souvent la 

 longue et obscure démonstration par Vabsurde; tandis que chacune 

 des deux démonstrations est ou une pétition de principe ou un non- 

 sens , ne démontrant absolument rien, si ce n'est qu'on n'a pas la 

 véritable notion du rapport. 



En effet, si C et D sont incommensurables entre elles, il faut ad- 

 mettre : ou qu'elles ont un commun diviseur iiiliniment petit, et 

 alors le second cas n'est que la répétition du premier ; ou bien que 

 C et D n'ont absolument aucun diviseur commun, pas même ap- 

 proché , et alors C et D n'ont absolument aucun rapport , pas 

 même approximatif, et ce rapport n'existe pas; car dès qu'il y a 

 rapport , il y a nécessairement commun diviseur. De sorte que la 

 démonstration, pour un rapport sans commun diviseur à ses deux 

 termes, est un véritable non-sens, aussi bien que la disiinelion des 

 deux cas; et celle-ci, d'ailleurs, est longuement inutile. 



