Géomélrie. 69 



Réduction a l'absuude. Il importe d'observer que quand la ré- 

 duction à l'absurde esl applicable, ce qui n'a pas lieu dans le pas- 

 sage du commensurable à l'incommensurable , elle possède l'avan- 

 tage de convaincre l'esprit; mais elle n'a pas celui de l'éclairer. On 

 ne doit donc en faire usage qu'avec réserve et lorsque la vérité à 

 démontrer a déjà une certaine évidence , comme pour les proposi- 

 tions réciproques dont on abrège ainsi les démonstrations. Il existe 

 d'ailleurs différentes circonstances où la réduction à l'absurde est 

 nécessaire ; mais alors la démonstration est fort simple et n'a rien 

 de bien obscur. 



La réduction à l'absurde plaît à l'imagination : tel est le prestige 

 que produit cette forme de raisonnement, dans le passage du com- 

 mensurable à l'incommensurable , que « par l'abus où l'on est en- 

 traîné, on arrive bientôt à se former une sorte de conviction illu- 

 soire et à se persuader que non-seulement on conçoit, mais en outre 

 que l'on peut aisément faire concevoir à d'autres , la notion d un 

 ra[iport sans commun diviseur à ses deux termes ; notion qui serait 

 inintelligible alors même qu'elle ne serait point absurde et con- 

 tradictoire. » 



Sans doute que les élèves intelligents finissent toujours par rec- 

 tifier la notion absurde précédente; mais, en attendant, quel doit 

 être l'effet d'une démonstration appuyée sur celte notion? « C'est 

 le plus souvent de former des élèves se payant de mots , ne voyant 

 clair au fond de rien et devenant par suite incapables de trouver en 

 eux-mêmes les éléments positifs d'une véritable conviction. » Si donc 

 on n'a pas « pour but d'habituer les élèves à douter de leur propre 

 raison , » rien ne peut justifier une telle méthode d'enseignement, 

 où, pour que le raisonnement ait un sens, on commet une longue 

 et obscure pétition de principe, afin de ne pas prononcer le nom de 

 la chose qu'on est forcé d'employer implicitement ! 



Axiome de mescdage. La théorie du mesurage a pour objet es- 

 sentiel de remplacer un rapport par un autre égal , simple ou com- 

 posé, plus facile à déterminer exactement. Or, observons que la dé- 

 monstration de l'égalité de deux rapports , par deux fractions con- 

 tinues identiques , suppose encore un commun diviseur infiniment 

 petit lorsque ces deux fractions continues sont illimitées. Mais du 

 moins le procédé, indiqué par Ampère, est naturel comme fondé 

 sur la recherche directe de la plus grande mesure commune aux 

 deux termes de chaque rapport : c'est le développement de Vaxiome 

 de mesurage dont voici l'énoncé : 



