74 J.-N. Nota.. — Théorie iiifuiilrsiiiKilc npplifjuée. 



A:s = i(C:«)iR:»); ^l'u" A = iCH, 



en sous-entendani chaque unité diviseur. D'ailleurs on sait que 

 C = 2=i-R; donc 



A^irR% ou encore A =«-;r(R ;!()'. 



IX. Enfin , l'aire de tout secteur circulaire a pour mesure le demi- 

 produit des mesures de son arc et de son rayon : c'est le produit du 

 cercle entier par le rapport de l'arc du secteur à la circonférence 

 (choses faciles à démontrer). 



Propositions diverses. 1" Tant que l'unité linéaire est finie, 

 comme le mèlrect le myrianièlre, la mesure de toute droite infinie 

 dans un sens est un nombre infini du premier ordre ; et il en est de 

 même du nombre mesure de la surface de tout bi-angle dont la 

 largeur est finie. 



2° D'après sa génération , la surface de l'angle , moindre que 

 deux angles droits , est un secteur circulaire dont le rayon R est in- 

 finiment grand. Et comme le rapport v de l'angle proposé à quatre 

 angles droits est un nombre fini, exprimable ou inexprimable, on 

 voit que la surface infinie de cet angle a pour mesure nR^v, c'est- 

 à-dire un nombre infini du second ordre. 



0° Si l'angle est infiniment petit, il en est de même du rapport 

 V. Donc ttR-v , mesure de la surface de l'angle infiniment petit, se 

 réduit à un nombre infini du premier ordre, aussi bien que le 

 nombre mesure de la surface de tout bi-angle de largeur finie. Ainsi 

 on ne saura jamais laquelle des deux surfaces infinies est la plus 

 grande. On ne pourra donc alfirmer , avec certitude, que l'angle 

 infiniment petit finira toujours par sortir du bi-angle de largeur 

 finie, ayant avec l'angle un sommet et un côté communs. — C'est 

 précisément en cela que pèche la démonstration de Bertrand de 

 Genève, appliquée au poslulatum d'Euclide ou à celui de Lacroix. 

 4° Si une droite décrit un angle infiniment petit en prenant un 

 mouvement initial autour du sommet , chacun de ses points décrit 

 une droite infiniment petite. Or cette droite, nulle d'abord, puis 

 excessivement voisine de zéro , augmente de plus en jilus sans ces- 

 ser d'être infiniment petite, à mesure que le point s'éloigne du 

 sommet : elle ne devient finie que quand le point décrivant est in- 

 finiment éloigné. D'abord c'est une longueur finie, vu qu'elle a pour 

 mesure le produit d'un rapport v infiniment petit par un nombre 

 infini 2,tR, et l'on sait que ce produit est toujours fini, mais in- 



