Géométrie. 77 



la génération , soit descriptive, soit numérique , des lignes et des 

 figures géométriques , doit être préférée toutes les fois qu'elle se 

 présente naturellement pour généraliser les définitions et passer 

 ainsi directement du connu à l'inconnu. Voyons donc comment la 

 description de toute courbe plane, par un point mobile , en justifie 

 la définition énoncée plus haut , et fait connaître la courbe plus 

 complètement que cette définition. 



I. Considérons une courbe plane quelconque terminée aux deux 

 points A et B. Le point A, générateur de cette courbe , se rend de 

 la position A à la position B et passe successivement par une infi- 

 nité de positions intermédiaires. On peut supposer évidemment que 

 ces positions du point A ont un intervalle constant entre chacune 

 et celle qui la suit immédiatement. La courbe finie AB renferme 

 donc une infinité de ces intervalles égaux; et chacun est si petit 

 qu'il échappe à la vue et à toute appréciation : il est infiniment petit, 

 c est-à-dire très-voisin du néant, sans être rigoureusement nul. 

 Car s'il était nul; comme le point géométrique n'a pas d'étendue, 

 les deux positions de A coïncideraient et n'en feraient qu'une seule; 

 le point A n'aurait donc aucun mouvement , contrairement à 

 l'hypothèse. 



De plus, il est clair que le point A ne peut avoir à la fois ou 

 au même instant deux tendances différentes au mouvement, ni 

 suivre à la fois deux chemins difl'érents. Le point A ne pouvant 

 donc avoir qu'une seule tendance, s'avance , en effet, infiniment 

 peu vers un point fixe du plan et , avant de changer de direction 

 pour en prendre une autre infiniment voisine et par conséquent in- 

 visible, il décrit nécessairement une droite infiniment petite, appe- 

 lée élément rectitigne ou simplement élément de la courbe. Celle-ci 

 n'est donc réellement qu'une ligne briiée dont les côtés sont invi- 

 sibles et inappréciables. 



IL Chaque élément fait, avec le prolongement de celui qui le 

 précède immédiatement , un angle extérieur infiniment petit et in- 

 visible, pouvant èlre positif ou négatif el même être rigoureusement 

 nul. Dans ce dernier cas , les deux éléments égaux sont en ligne 

 droite, et celle-ci est encore infiniment petite et invisible. De plus , 

 chaque angle extérieur, par ses valeurs particulières infiniment pe- 

 tites, fait que la ligne est plus ou moins courbe au sommet de cet 

 angle : c'est donc X'angle de courbure ou simplement la courbure de 

 la courbe en ce point sommet. 



