Géométrie. 83 



le signe -|- du double signe ayant lieu lorsque l'arc a est concave et 

 le signe — quand a est convexe vers l'axe de rotation. 



De là rcsullcnt deux expressions pour la surface et pour le vo- 

 lume engendres par la révolution du contour et de l'aire du seg- 

 ment circulaire, différence entre S et T. 



VII. Lorsque l'axe passe par le centre C, d'où rf=0, l'arc a est 

 concave vers cet axe; et alors la surface et le volume engendrés 

 par a et S sont la sônc et le secteur sphériques. On démontre donc 

 ainsi que : 1° L'aire de loxite zone spliérique a pour mesure le pro- 

 duit des mesures de sa hauteur et la circonférence d'un grand cercle; 

 2° Le volume de tout secteur sphérique a pour mesure le tiers du 

 produit des mesures du rayon et de la zone , base du secteur. 



IX. La première de ces deux propositions fait voir que la sur- 

 face de la sphère équivaut à quatre grands cercles; d'où résidtent 

 ensuite les expressions des aires de tout fuseau et de tout polyjone 

 sphériques. 



X. La seconde proposition VIII se démontre directement en ob- 

 servant que le secteur spliériquc proposé est la somme d'une infi- 

 nité de tétraèdres, ayant chacun pour hauteur le rayon de la sphère 

 et dont les bases sont les triangles infiniment peiiis et par suite 

 plans c[Vi\ composent la zone, base du secteur; d'où résulte que 

 le volume de la sphère a pour mesura le tiers du produit des mesures 

 de sa surface et du rayon. — Ou démontre de même les expressions 

 des volumes de Vonrjkt et de la pyramide spliériques. 



On sait d'ailleurs calculer la mesure du volume de tout segment 

 de sphère, aussi bien que de toute tranche sphérique. 



XI. Soit L l'aire de la lunule circulaire; soient a et a' les deux 

 arcs qui la terminent et situés d'un même côté de la corde c com- 

 raune; de sorte que a! y a et que a -}- a' ^ '2^r. Soit d la distance 

 du centre à la corde c ; si la lunule fait une révolution autour de 

 cette corde, on démontre que la surface et le volume engendrés 

 par le périmètre i^r et l'aire L de la lunule, ont pour mesures 

 respectives : 



SHi/. 2;rr=2c-2-T/--f-(a'— a).2,Td et t'o/. L= 2rVr\ 

 (Voyez d'ailleurs le Complément de Trigonométrie). 

 Observons encore que l'on peut aisément calculer la capacité et 

 la surface intérieure de certains vases ouverts de révolution , la 

 ligne plane génératrice étant composée d'au moins deux arcs cir- 

 culaires égaux et raccordés, comme la doucine cl le talon, etc. 



