Géométrie. 8'J 



Concevons la hauteur /* divisée en un nombre infini n de parties 

 égales à x, par des plans parallèles à la base 6 ; on a donc h — nx , 

 et ces pians divisent P en n tranches, toutes de même épaisseur x 

 infiniment petiie. Soit T la m ième tranche, à partir du sommet 

 de P, et soit y la plus grande de ses deux bases parallèles , laquelle 

 est éloignée du même sommet de la distance mx. Cela posé , les 

 grandeurs étant supposées mesurées et réduites en nombres abs- 

 traits, savoir P et T d'après l'unilé v, b ety d'après l'unité s, h et 

 mx d'après l'unité ti, et chacune de ces unités étant sous-entendite 

 comme diviseur; il est clair que les figures semblables b cl y 

 donnent, comme on l'a vu plus haut, b:y::h':m''x^; d'où en posant 

 pour abréger, c=b:h^ ou 6=c/i« , il vient y=cm,^x\ 



La m ième tranche T, dont l'épaisseur x est infiniment petite , 

 peut être considérée, sans erreur finale, comme un prisme ou un 

 cylindre de base y et de hauteur x; de sorte que les unités divi- 

 seurs étant toujours sous-entendues, on aT = yx et T^ou^jc'. 



Prenant successivement w = 1, 2, 3, 4 , ... , k , puis ajoutant 

 membre à membre les n égalités résultantes et observant que P est 

 la somme de toutes les T, on aura P^cx^fn^. Or, n étant infini, 

 on sait que fn^ = ^n^ et a;'/w«=j)i'x'=jA', vu que nx=A. 

 Et comme b = ch^ , d'où ch^ = bh , il vient enfin 



P=\bh ou P = î;X 1(6 : «)('«•«)• 

 Toxite pyramide ou tout cône a donc pour mesure le tiers du pro- 

 duit des mesures de sa base et de sa hauteur. Et cette proposition est 

 rigoureusement exacte, en vertu de la compensation d'erreurs qui 

 s'établit toujours par le principe infinitésimal que démontre la rèjle 

 des variables. 



CoMPAnAisoN DES MÉTHODES. Dans le mesurage des figures géo- 

 métriques, la réduction à l'absurde, si elle est applicable, vérifie 

 péniblement le théorème d'abord énoncé; car elle est souvent inca- 

 pable de le faire découvrir, sans l'emploi préalable des grandeurs 

 infinitésimales qu'on veut éviter. — La méthode infinitésimale, au 

 contraire, conduit le plus directement possible à ce théorème, et 

 devient indispensable pour étendre aux lignes et aux surfaces 

 courbes les notions de similitude définies pour les lignes brisées et 

 les surfaces polyédrales. — -La méthode des limites ne peut faire 

 connaître ces définitions sans rentrer dans la méthode infinitési- 

 male , beaucoup plus explicite. Cette dernière méthode , comme 

 abréviation et conséquence de celle des variables , est bien une 



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