Géométrie. 9 ' 



abréger beaucotip cette dernière et conduire plus directement aux 

 théorèmes numériques. En voici plusieurs applications : 



I. Il est évident que la circonférence C se décrit et se détermine 

 avec son rayon R absolument comme la circonférence C avec son 

 rayon R'; donc la longueur C est exprimée en R absolument comme 

 C en R'. Et puisque le rapport indique comment l'antécédent se 

 trouve avec le conséquent seul, on voit que si C'=li!n, n dési- 

 gnant un rapport inconnu , on a aussi nécessairement C = Rn. Ces 

 deux égalités donnent évidemment : 



C:2R=C':2R' = > et C:C'::R:R'::2R:2R'. 



Ces deux théorèmes , comme on voit , résultent immédiatement 

 des définitions du rapport et de la circonférence. 



II. Soit S le secteur circulaire dont a est l'arc et r le rayon; soit 

 T le triangle isocèle ayant pour sommet le centre de S, pour base 

 la corde c de l'arc a et h pour hauteur. L'arc a et sa corde c étant 

 tracés , il est clair que si par le milieu de c on lui mène une per- 

 pendiculaire, on aura le centre de S et le sommet de T en portant 

 sur celte perpendiculaire la longueur r, à partir de o, et la lon- 

 gueur h, à partir de c. Ainsi S se construit et se détermine par a et 

 r absolument comme T, par c et h; donc l'aire S est exprimée nu- 

 mériquement en a et r absolument comme l'aire T, en c et h. Or, 

 les unités s et m étant sous-entendues, on sait que T=|cA; donc 

 aussi S = ^ar. 



De là résulte l'expression de l'aire du cercle ; mais ici la méthode 

 infinitésimale est à la fois plus claire et plus directe. 



III. Soit P un piisme ou un cylindre droit ou oblique ; soit b 

 sa base quelconque plane , convexe ou concave , et soit h sa hau- 

 teur menée d'un sommet de la base supérieure. Lorsque 6 et h 

 sont données et tracées, le prisme ou le cylindre P est déterminé 

 complètement. De plus , en vertu de la définition générale, tous les 

 prismes et tous les cylindres possibles se construisent , absolument 

 de la même manière , au moyen de la base b et de la hauteur h de 

 chacun; donc le volume de chacun doit être exprimé numérique- 

 ment en fonction des mesures de b et /* par une formule cons- 

 tante ou la même pour tous. Or, les unités v, s et u étant toujours 

 sous-entendues , on sait que quand P est un parallélipipède rec- 

 tangle, on a P=bh; donc lorsque P est un prisme ou un cylindre 

 quelconque, on a aussi P=6/t. — On voit que l'axiome de généra- 

 lisation abrège singulièrement la théorie du mcsurage des prismes 



