Trigonométrie et Géométrie analytique. 93 



Pour cela, on prend un point fixe sur celte ligne, droite ou 

 circulaire, et l'on calcule la longueur x, mesurant sur la ligne la 

 distance du point fixe au point cherché. Or , la généralité com- 

 plète de la formule résultante dépend essentiellement du principe 

 fondamental que voici : 



Principe I. Lorsque des longueurs sont mesurées sur une même 

 ligne, droite ou circulaire , à partir d'un même point ; les longueurs 

 mesurées dans un sens étant positives , celles mesurées dans le sens 

 opposé sont négatives; et cela quand même la ligne tournerait autour 

 du point fixe 0. 



Bien que ce principe , très-important , se vérifie dans les problè- 

 mes de géométrie numérique, quelques auteurs pensent néanmoins 

 qu'oJî ne peut le démontrer, et ils le regardent comme étant un fait 

 de pure convention. Cependant, en posant cette convention ou en 

 appréciant ce fait, ils ont dû procéder logiquement; et s'ils avaient 

 approfondi les motifs qui les ont guidés, il en serait résulté la dé- 

 monstralion du principe proposé. 



En effet, lorsque la longueur x ou + x est mesurée dans un sens 

 de la ligne, pourquoi, lorsqu'elle est mesurée dans le sens opposé, 

 devient-elle — x ou négative? C'est évidemment parce qu'elle di- 

 minue alors ce qu'elle augmentait d'abord ; x augmentait donc une 

 certaine longueur m (située du côté opposé du point 0, et partant 

 de ce point, aussi bien que- x) pour avoir la longueur v. Ainsi, 

 outre les équations du problème , celui-ci en admet toujours 

 une autre, le plus souvent implicite ou sous-entendue, savoir : 

 v=m-{-x; laquelle devient v=^m — x lorsque la longueur x est 

 mesurée en sens opposé. Donc enfin chaque longimtr mesurée en 

 sens contraire doit devenir négative. Le principe est donc ainsi dé- 

 montré clairement et complètement. 



Il en résulte qu'en changeant x en — x dans la formule pro- 

 posée, on obtient la formule pour le cas oii la longueur x est me- 

 surée en sens contraire, sur la même ligne et à partir du même 

 point. Cela généralise et simplifie singulièrement les théories, puis- 

 que pour avoir la nouvelle formule, on est ainsi dispensé de recom- 

 mencer les calculs et les raisonnements qui ont fourni la formule 

 proposée. — Par exemple , les formules trigonométriques , calculées 

 pour des arcs moindres chacun que 90°, s'appliquent à des arcs 

 plus grands, pourvu qu'on y donne le signe — à chacune des lon- 

 gueurs mesurées dans le sens contraire à celui considéré d'abord j 



