Trifjnnumétrie et Géométrie analytique. 97 



signe le pelit axe, devient 



Regardons comme constante la distance \p de l'origine au foijer 

 voisin de l'ellipse : on aura donc 



a — j/(a'— 6')=ip; d'où b* = ap-~{p'. 

 Substituant celle valeur de 6*, l'équation de l'ellipse devient 



?/'==2/)JC— — [x'+5/)x— px*:4a]. 



Or, si pelx restent constants , mais que a augmente de plus en 

 plus, les termes divisés par a deviendront de plus en plus petits. 

 On aura donc une suite d'ellipses dont les grands axes seront dif- 

 férents , mais qui auront toutes le même foyer et le même sommet 

 voisin. Ces ellipses approchent de plus en plus de la parabole 

 j/'==2/)x, sans pouvoir jamais coïncider avec elle; car si a est 

 infini, t/" surpasse y^ d'un nombre infiniment petit, et l'on n'aura 

 jamais y'— y. Cependant comme un nombre infiniment petit se 

 néglige à l'égard des nombres finis , on peut dire , avec une grande 

 approximation , que la parabole est une ellipse dont le rjrand axe 

 est infini. 



Pour avoir exactement y'=y, il faut que « = 5; c'est-à-dire il 

 faut que l'ellipse cesse d'exister. Ainsi dans la parabole, la distance 

 a du centre au sommet n'existe pas , comme étant exprimée par g ; 

 la parabole n'a donc pas de centre ni de second foyer. 



Usage dd symbole V' — 1. Le calcul des symboles i/Hai/maîVes 

 fait passer immédiatement de l'équalion de Vellipse à celle del'%- 

 perbole, et conduit à plusieurs propriétés de cette dernière courbe. 

 — Considérons d'abord l'équalion de l'hyperbole rapportée à ses 

 axes principaux, lesquels se coupent au centre et à angles droits , 

 savoir : 



o'»/' — 6'x'=— 0^6*. 



Soit d un demi-diamètre réel et (x,y) son extrémité sur la 

 courbe : on a donc 



x^-^y^'^cP. 



Éliminant successivement x eiy entre cette équation et la pré- 

 cédente, on trouve 



a-d-=(a^+b^)x^ — u^b\ 



dô 



