98 J.-N. Noël. — Théorie infinilésimale appliquée. 



Par la première de ces deux équations, il est évident que le mi. 

 nimum de d répond à ?/ = et qu'il est d=a ou 2d = 2«. Ainsi le 

 premier axe de l'hyperbole est le plus petit de toics ses diamètres réels. 

 (Le plus grand diamètre réel est inflni). 



Et comme le reste diminue avec le nombre dont on soustrait, lors- 

 que le nombre à soustraire reste invariable , on voit, par la seconde 

 équation précédente, que le minimum de d répond à x= et que 

 ce minimum devient d = b[/ — 1 ou ^d = ^b[/ — 1. Le second axe 

 de l'hyperbole est donc le plus petit de tous ses diamètres imaginaires 

 ou non-transverses . 



Pour vérifier ce dernier cas , on observe que l'extrémité (x,y) du 

 demi-diamètre imaginaire d n'appartient pas à l'iiyperbole et que 

 c'est un point imaginaire pour cette courbe; lequel y est alors dési- 

 gné par (xj/ — 1 , 2/|/ — i )• L'équation de l'hyperbole devient 

 donc, pour ce point, 



aY— i-x2 = aV. 



Éliminant y entre cette équation et 3?-\-y^ = d^, on a 



On voit que le minimum du diamètre imaginaire 2rf répond à 

 X = et qu'il est le second axe 26 ; c'est l'axe réel de l'hyperbole 

 dont 2a est l'axe imaginaire. 



Observons d'ailleurs que ay'=±bx sont les équations de deux 

 diamètres imaginaires infinis. — En effet, ayant, pour ces deux 

 diamètres, l'équation unique : ahj'^ — 4-x' =0; supposons que l'ab- 

 scisse X soit la même dans cette équation et celle de l'hyperbole : 

 on aura donc 



,f—y'-^ = lj^ et «'— « = -^. 



L'abscisse x commune devenant de plus en plus grande , il en 

 est de même des ordonnées y' et y, aussi bien que de leur somme 

 y'+y : donc, au contraire, la différence?/' — y devient de plus en 

 plus petite. Si donc x devient infiniment grande , il en sera de même 

 de ij et y, d'où 2/'+ ?/ = oo ; donc alors la différence y' — y sera 

 infiniment petite et jamais rigoureusement nulle. Car si l'on avait 

 y' — y=Q, on aurait aussi 6 = 0; chose absurde. Ainsi les deux 

 diamètres ay' = d=bx s'approchent continuellement de l'hyperbole, 

 sans jamais pouvoir la rencontrer, pas même à l'infini ; ils en sont 

 donc à la fois les doux seuls diamètres imaginaires infinis et les 

 asymptotes. 



