Trigonométrie et Géométrie analytique. 99 



Remarque. On sait que le calcul des imnginaires du second degn; 

 fait passer immédiatement do 1 équation de V ellipsoïde, rapportée à 

 SCS axes principaux, aux équations de V hyperboloïde aune nappe et 

 de Vhyperbokïde à deux nappes, et fait connaître, dans chacune 

 des deux dernières surfaces, le plus grand et le plus petit diamètre , 

 soit réel, soit imaginaire. Il en résulte ensuite les deux cônes asymp- 

 totes; puis le calcul des axes principaux dans les trois surfaces nu- 

 mériques du second ordre, ayant un centre; calcul qui devient le 

 plus simple possible à l'aide de la théorie des maximums et des 

 minimums du second degré. 



Lignes infinitésimales. Pour calculer les lignes trigonométriques 

 infinitésimales, soient d'abord AB= a et CD = 6 les côtés parallèles 

 de deux polygones réguliers du même nombre n de sommets , l'un 

 inscrit et l'autre circonscrit au cercle de rayon OA = r ; soit 

 AMB = 2x l'are soutendu par AB et touché en M par CD, le point 

 M étant le milieu commun aux deux lignes. Les tangentes aux 

 extrémités A et B de 2a; vont se couper au point N du rayon OM 

 prolongé, ce rayon étant perpendiculaire au milieu I de AB, et l'on 

 a AN = BN. Il est d'ailleurs évident que Sx'^ 2 AN et que la corde 

 AM<a;. 



Cela posé, î° toutes les lignes étant réduites en nombres abs- 

 traits, d'après la même unité linéaire u, sous-entendue comme con- 

 séquent de chaque rapport, et la corde AM étant moyenne propor- 

 tionnelle entre la flèche IM et le diamètre 2r, il est clair qu'on a 

 2rxIM = (AM/. Or, AM<x et OI = r — IM; donc 



,M<-etOI = .-<^-. 



Les deux triangles équiangles OAN et OAI donnent 



AN:ia:;r:r— IM; d'où 2AN(r — IM) = an 



Substituant à 2AN la valeur plus petite 2x, et à IM la valeur 

 plus grande a;^sur2r, ce qui rend plus petit le facteur r — IM, il 

 est clair qu'on aura 



2a:(r — — ) =^ ar — y; d'où a = 2x — <— • 



Soit p le périmètre du polygone régulier inscrit, c la longueur 

 de la circonférence et p' le contour du polygone régulier circons- 

 crit , d'oi!i p'>c et p^c; il est clair que p = an,c = '2n£ et 



