100 J.-N. Noël. — Théorie infinitésimale applltjiié.'. 



]i =bn. On voit d'abord qu'ayant iH>'2nx, on a aussi 6>2j: 

 et CM]>K. On voit ensuite qu'on aura toujours 



P=-c—<-,c{-f, ou /) = c — <— XtCîtS. 

 r 71- 



Maintenant, si l'on suppose le nomijre w de sommcis infiniment 

 grand, les ares 2x et x sont alors infiniment petits; et, s'ils ne sont 

 pas devenus éléments rectilignes par l'hypothèse de »i infini , ils ne 

 eoïncident pas alors avec leurs eordes, elles-mêmes infiniment 

 petites. Dans ce cas, la flèche IM est un infiniment petit du second 

 ordre : elle est tellement petite que, répétée le nombre infini n 

 de fois, le produit est moindre que l'infiniment petit cxsur4r, 

 nnlà l'égard des nombres finis, en vertu du principe infinitésimal ; 

 donc à plus forte raison doit-on regarder la flèche comme absolu- 

 ment nulle : cela donne 01 = OM et fait coïncider o et 6 avec 

 2x, j9 et p' avec c. D'ailleurs , la longueur c ne surpasse p que 

 d'un infiniment petit du second ordre, nul dans le résultat final 

 des cslculs. On voit donc que l'on peut toujours, sans aucune er- 

 reur finale , regarder le cercle comme un polygone régulier. — C'est 

 déjà ce qu'on a démontré plus haut (p 71). 



2* Les définitions des lignes trigonométriques font voir que MC = 

 langx, OI=cosx et AI = sinx=3a. On aura donc toujours 

 sina;<Cx, cosx<^r et tangx^'X. Mais, à cause de j« = sinx, 



on a sinx^x — < t— , et eos x == r — -cCtt"- 



De là, si le nombre n de sommets est infini, les ares 2x et x 

 sont infiniment petits , aussi bien que les côtés a et 6, tandis que 

 x^ et x' sont des infiniment petits du second ordre et du troisième. 

 Or , on vient de voir que dans ce cas on peut supposer , sans au- 

 cune erreur finale appréciable, la flèche IM rigoureusement nulle : 

 cela fait coïncider a et b avec 2a!, MC avec x, 01 avec r et sinx 

 avec X. On a donc alors 



cosx = ?', sin.x = x et tanga;=x. 



Ainsi le cosinus d'un arc iiifitnment petit est égal au rayon, tan- 

 dis que le sinus et la tangente sont égaux à l'arc lui-même : ils coïn- 

 cident avec lui. 



IVon-seulement l'erreur finale, due à chacune de ces proposi- 

 tions, est inappréciable par sa pelilessc et doit se négliger; mais 

 souvent elle se compense avec une autre erreur finale simultanée , 



