Trigonomc'trie et Géométrie analyl'qne. 101 



et le résultat final est rigoureusement exact , d'après la règle tics 

 variables. 



3'> Enfin, l'arc x étant infiniment petit , on a 



sécx=r, cota[;=oo etcosécx=oo. 



Rectification de ix cincoNFÉnENCE. Soit d'abord x un arc cir- 

 culaire moindre que le quadrant de rayon 1 numérique; soit s la 

 mesure de son sinus , d'où sin x=s : il s'agit d'exprimer la mesure 

 de l'arc x en fonction de s. 



Or, la figure étant tracée, concevons sin a; divisé en un nombre 

 infini n de parties égales à z par des perpendiculaires : on a donc 

 s = nz et ces perpendiculaires divisent l'arc x en « parties inégales , 

 mais infiniment petites. Soit yhv iême de ces parties de x, à par- 

 tir de l'origine de ce dernier : l'arc qui est la somme des v parties 

 a donc vz pour sinus et |/(1 — v^z^) pour cosinus. De plus, l'arc 

 infiniment petit y, coïncidant avec sa corde, est l'hypoténuse du tri- 

 angle rectangle dans lequel y et z sont respectivement perpendicu- 

 laires à l'hypoténuse 1 et au côté|/(l — v'z^) d'un second triangle, 

 équiangle au premier; car le rayon 1 mené à l'extrémité de y, est 

 perpendiculaire à la tangente en ce point et par suite à y, que l'on 

 peut, sans erreur finale, regarder comme partie infiniment petite de 

 cette tangente indéfinie. Comparant donc les côtés homologues des 

 deux triangles, on a 



^'(l-t;V):;::l:2/,- d'où 2/ = s(l— ^;25')-^ 

 Développant d'après la série binomiale , on trouve 

 , , , , , 1.3 . , 1.5. S 1.Ô.S.7 



2/=.+i.VH-— .'.H .jTjTe '^"^' + 2^76:8 '-■'^+'^"'- 



Prenant successivement t; = l, 2, 3, 4, ... , »», puis ajoutant 

 membre à membre les n égalités résultantes; observant d'ailleurs 

 que l'arc x est la somme de tous les arcs partiels y, et que n infini 

 donne /w^=in',/n« = jn»,/n» = in', etc. Réduisant enfin par 

 nz = s , on trouve 



, , «' , 1.3 s» l.ô-b 4' 1.5-7.9 4» 



^=^+^3+2:4 5-+2âr6 7 + 2:i:ïï:8ô--^'^"'- 



D'après le principe infinitésimal , cctle série remarquable ex- 

 prime exactement la valeur numérique de l'arc x, de rayon 1 nu- 

 mérique, au moyen de la mesure s du sinus de cet arc. 



Si «=3, d'où x=30° = |t, la série qui en résulte est assez 

 convergente, puisque la somme de tous les termes qui suivent le 



