TrI(jonomùlrie et Géomclric analytique. 105 



Prenant donc successivement «= I, 2, 3,4, ... ,w dans cette der- 

 nière identité; ajoutant membre à membre les n égalités résultantes, 

 puis observant que/p = a; et que ?i étant infini, on a /rt'=in% 

 J'n* = ^n', etc. Réduisant d'après nz = t, on trouve finalement 



La combinaison de la méthode infinitésimale avec la méthode 

 des coefficients indéterminés , aidée si l'on veut de la méthode des 

 dérivées, conduit facilement à la formule précédente. Cette for- 

 mule fournit, comme on sait, une double série très-convergente, 

 servant à calculer avec autant de décimales exactes qu'on veut le 

 rapport n de toute circonférence à son diamètre. (Voyez à ce sujet 

 le Complément de Trigonométrie). 



PniNciPE DE RECTIFICATION. Pouf démontrcr le principe de la 

 rectification des courbes planes, à l'aide du calcul infinitésimal, 

 soit AMB=a un arc convexe très-petit de la courbe proposée; soit 

 c sa corde et 6 la ligne brisée ACB , formée par les tangentes AC 

 et B(; aux points A et B de la courbe : il est clair d'abord que 

 c<^a et o<^6. Soit d'ailleurs v l'arc circulaire, de rayon 1, qui 

 mesure le plus grand des deux angles A et B, dans le triangle 

 ABC. Il est facile de voir que toutes les lignes étant numériques , 

 on a c== AC-cosA + BCcosB. 



Si donc A<^B, d'où cosB = cosu et cosA>-cosf , il vient 

 c >■ (AC -|- BC) cos « , ou c>6cosi; et c'^acosv. 



Actuellement, supposons que l'arc o soit infiniment petit : si 

 alors il n'est pas un élément rectiligne, il ne coïncide pas avec sa 

 corde c plus petite. Mais dans ce cas les angles A et B étant infini- 

 ment petits chacun, nécessairement, la corde c, la longueur b it 

 l'arc circulaire v sont des nombres infiniment petits. Or v étant 

 infiniment petit, on a, sans erreur appréciable, 

 sin« = « et sm^\v = \i?. 

 D'ailleurs, puisque cosî)=1 — 2sin^{t;, on a cosî;=1 — ^'f ; il 



vient donc 



c>-a — \av^; d'où a = c-\-<C^^av^. 



Et comme a, c,v sont infiniment petits chacun, on voit que 

 l'arc infiniment petit de toute courbe plane ne surpasse point sa corde 

 d'un infiniment petit du troisième ordre. 



Le triangle ABC étant lui-môme infiniment petit , il est facile de 

 voir que sa hauteur CMI est moindre que l'infiniraent pilit du se- 



