Mc'surage des Aires et des Volumes. lOS 



m ième de ces tranches comme un parallélogramme , un prisme ou 

 un cylindre. Egalant alors la m iême tranche T à l'expression de 

 sa mesure; puis ajoutant entre elles les n égalités qui résultent de 

 l'expression de T en y faisant successivement »« = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n 

 et réduisant, d'après les données et la somme des puissances, à ex- 

 posant constant, entier ou fractionnaire, des n premiers nombres 

 entiers, n étant infini, on aura l'expression cherchée de la mesure 

 de la figure F proposée. 



De cette manière, on commet, sur la grandeur de T et sur sa 

 mesure, deux erreurs au moins infiniment petites du second ordre ; 

 lesquelles deviennent infiniment petites du premier dans l'équa- 

 tion finale , et s'y compensent ou en disparaissent en vertu de la 

 règle des variables. De sorte que le résultat final est rigoureuse- 

 ment exact. 



Telle est la méthode infinitésimale dans le mesurage des aires 

 planes mixtes ou curvilignes , et des volumes terminés par des sur-r 

 faces mixtes ou courbes. On en déduit , par la comparaison de l'el- 

 lipse à la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre , 

 que le segment elliptique est au segment circulaire qui lui répond , 

 «omme le petit axe est au grand. Et de là résulte l'expression de 

 l'aire de l'ellipse en fonction de ses deux axes ou de ses deux dia- 

 mètres conjugués. — Et remarquons que les deux segments sont les 

 limites de deux polygones inscrits du même nombre de côtés. 



Parabole. Soit ax= y"^ l'équation de la parabole ordinaire, rap- 

 portée à ses axes conjugués comprenant l'angle e ; soient h el k 

 l'ordonnée et l'abscisse du point quelconque (k , /*) de la courbe , 

 d'où ak = /i*. Le parallélogramme hk sin e est donc divisé par la 

 parabole en deux secteurs S et S', le premier extérieur et ayant le 

 côté h sur l'axe des y. 



Concevons ce côté divisé en un nombre infini n de parties égales 

 à p par des parallèles à l'axe des x : il est clair que h=np et que 

 ces parallèles divisent S en n tranches , toutes de même épaisseur 

 psine infiniment petite. Soit T la m ième de ces tranches, à 

 partir de l'origine, el soit 6 la plus petite de ses deux bases paral- 

 lèles. On peut toujours , sans aucune erreur finale , regarder T 

 comme un parallélogramme de base b el de hauteur p sin o ; 

 de sorte qu'en sous-entendant toujours les unités s et u, on aura , 

 à cause de ab = m^p^, 



T = ipsiiie et aT=m'p'sine. 



