108 J.-N. Nor.L. — Théorie infinitésimale appliquée. 



jamais le rencontrer, pas même à l'infini. De sorte que l'axe des x 

 négatifs est asymptote de la courbe. 



Dans la logarithmique, la soutangcnte est constante et égale au 

 logarithme ordinaire du nombre e. De plus , l'aire asymplotique , 

 depuis a; = jusqu'à x= — oo , équivaut au rectangle construit sur 

 l'unité linéaire et la soutangente le. Enfin , le volume engendré par 

 l'aire asymptolique , tournant autour de l'axe des x négatifs , équi- 

 vaut au demi-cylindre circulaire ayant la soutangcnte pour hau- 

 teur et l'unité linéaire pour rayon de la base. 



Ce volume et l'aire S asymptotique ont des valeurs finies, bien 

 qu'ils s'étendent à l'infini dans le sens des x négatifs. Ces résultats , 

 quelque singuliers qu'ils paraissent, n'ont rien qui doivent faire 

 douter de leur exactitude; car l'aire S, par exemple, est évidem- 

 ment moindre que la somme d'une infinité de rectangles extérieurs, 

 ayant chacun l'unité linéaire pour hauteur, sur l'asymptote, et dont 

 les aires forment une progression géométrique décroissante à l'in- 

 fini. Or, on sait que la génératrice de cette progression a toujours 

 une valeur finie, ici -^5 donc à plus forte raison l'aire S doit avoir 

 une valeur finie, ici 0,4342943. 



Quadrature et cubature. Les coordonnées étant rectangulaires, 

 considérons la surface du quatrième degré : 



(x2 4. 2/2 + ,2 _ çiaxy = 4af(?/2 + z^). 



Posons d'abord y^-]- z^= R- et résolvons l'équation résultante par 

 rapport à R : nous aurons 



=fcR = x-}-Kiôx et ±R=— x-fKiôx. 



Il est clair que x ne saurait être négative et que chaque valeur 

 positive réelle de x, dans chacune des deux formules précédentes, 

 donne à ± R une valeur réelle. On voit donc , à cause de y^ j- z^—R^, 

 que tout plan x = i-, parallèle au plan des yz, donnant à R- deux 

 valeurs positives réelles différentes , coupe la surface proposée sui- 

 vant deux circonférences dont le centre commun est sur l'axe des 

 X. Et parce quez = donne i/=R, il devient évident que cette sur- 

 face est composée de deux nappes distinctes, infinies dans le sens 

 des a; positifs, à partir de l'origine, et décrites par les révolutions, 

 autour de l'axe des x, des deux demi-courbes paraboliques , sur le 

 plan des xy, savoir : 



àzy^rx + y'^x et ±: y = — x -{-V' ii.x . 



