lUesurage des Aires et des Volumes. 109 



Ces deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des x ; 

 mais les deux branches de la seconde, partant de l'origine, où elles 

 sont touchées par l'axe des y, se coupent au point ("2a, 0) de l'axe 

 des X, et y terminent une sorte de feuille dont 2a est l'axe de 

 symétrie. Dans cette feuille , le maximum de y est \a et répond à 



Cela posé , soit S l'aire du secteur de la première courbe , depuis 

 a;=0 jusqu'à x = 2a, et soit iF l'aire de la demi-feuille de la se- 

 conde courbe : la théorie infinitésimale donne 



S = ii-a2 et F=|a25 d'où S— iF = 4o2. 



Soit S, le volume de la sphère dont a est le rayon : on trouve de 

 même que les volumes de révolution , engendrés par les aires S et 

 ïF tournant autour de 2o, sont ; 



iJoZ. S = fS, et w/.iF = |S.. 



Formules de mesurage. Soit a un arc circulaire donné, de rayon 

 1 numérique, et soit posé a = np, n étant un nombre entier infini 

 et p un arc numérique infiniment petit; d'où smp = p et cos/j=1. 

 Voyons comment on peut calculer les sommes , tant des sinus et 

 des cosinus des arcs p,'2p,ôp,ip, ... ,np, que des carrés, des 

 cubes, etc. de ces sinus et de ces cosinus. 



1° A cause de sin2/) = 2p, on sait par la trigonométrie que : 

 2p sin ^vp = cos (Svp — p) — cos (2«p -Hi>) , 

 2p cos 2up = sin (2up + p) — sin (^vp — p). 



Soient ysin 2wp et /cos %ip les sommes respectives des sinus 

 et des cosinus que donnent les deux identités précédentes en y po- 

 sant successivement t)=l,2,3,4, ...,net en ajoutant, etc. Il 

 est clair qu'on aura 



2/)/sin2np=l — cos (^np ■\- p) , 

 ^pf COS. %ip = sin (2hp -\-p) — p. 



Comme l'infiniment petit p est nul à l'égard des nombres finis, 

 et que par suite 2n/j -|"P = 2np , d'où 1 — cos 2n/J = 2 sin^np ; il 

 est clair, en changeant p en ^p, qu'on a les deux formules où 

 n = np, savoir : 



/)ysinflp= 2sin*ia et p/cos wp = sin a . . . (A) 



2° Opérant de même sur les deux relations 



2 sin^i^ = 1 — cos 2i'p et 2 coiHp = 1 -f cos 2«p, 



