no J.-l\. NoE[,. — • Théorie infinilésimale appliquée. 



puis substituant 2a à %ip et la valeur de /cos Inp , on trouve, après 

 toute réduction faite, les deux formules : 



ipfstn^np^^a — sin2a, ] 

 4./)/eos'?ip = 2a-f-sin2a. ) ' ' " 



3° Les deux formules (A) servent à calculer celles qui se dédui- 

 sent, par le procédé ci-dessus , des deux relations : 



4sin'np=3 sin wp — sin Znp , 



4 cos ' wp = ô cos Mp -|- cos on/) . 



Ces deux relations donnent, en effet, réductions faites : 



6/)/sin'«p = 9sin* ja — sin'fa, \ _ 



12p/cos'np==9sino-+-sin 3a. ) '" 



Il existe des couples de formules pour les puissances quatrièmes , 

 cinquièmes, etc. Mais les précédentes suffisent pour opérer, avec 

 facilité, les quadratures de certaines courbes planes représentées 

 par des équations polaires. 



Remarque. Nous avons établi en Géométrie (2™" édition) que la 

 théorie infinitésimale et certaines formules trigonométriques suffi- 

 sent pour démontrer complètement toutes les propriétés géométri- 

 ques de la cydoïde, et entre autres que la longueur de chaque 

 branche de la courbe est quadruple du diamètre du cercle généra- 

 teur. Cependant le rapport de ces deux longueurs est une fraction 

 n surp dont les deux termes n et p sont entiers infinis ; il faut donc 

 que le nombre infini p soit contenu 4 fois dans le nombre infini h. 

 — La cydoïde est , comme on voit, une courbe rectifiable; mais ce 

 n'est pas une courbe carrable , puisque nous avons aussi démontré 

 que l'flîVe limitée par une branche et par la droite sur laquelle 

 roule le cercle proposé , est triple de l'aire de ce cercle. 



Secteurs élémentaikes. Pour calculer la mesure de tout secteur 

 d'une courbe plane, rapportée à des coordonnées polaires , on re- 

 garde le secteur proposé comme la somme d'une infinité de sectetirs 

 élémentaires, généralement inégaux, mais ayant les angles égaux 

 au pôle commun. On peut supposer, sans aucune erreur finale, 

 comme on sait, que chaque secteur élémentaire est un triangle rec- 

 tiligne isocèle infiniment petit. Soit donc T l'un de ces triangles , 

 soit r l'un de ses cotés égaux et x l'arc circulaire, de rayon 1, qui 

 mesure l'angle infiniment petit au sommet. On a, pour l'expression 

 de l'aire T, l'équation T = 5r'sinx. Et comme l'arc x est infini- 



i 



