Mesurage des Aires el des Volumes. 111 



ment petit, d'où sina:=sx, il vient 



T — ^r'x. 

 Répétons encore que cette équation conduit toujours à un résultat 

 final rigoureusement exact. Car les deux membres sont censés 

 renfermer chacun un infiniment petit du second ordre, qu'on se 

 dispense d'écrire pour simplifier, sachant que chaque infiniment 

 petit du second ordre en fournit un du premier dans l'équation 

 finale, et que ces deux infiniment petits s'y compensent et en dis- 

 paraissent nécessairement comme variables. — Appliquons main- 

 tenant l'équation qui exprime T à la quadrature de plusieurs lem- 

 niscates, 



Lemmscate simple. Considérons la courbe polaire : 

 r'=:o'sin2(<). 



Dans cette équation, a est une droite numérique constante, r le 

 rayon vecteur numérique et a l'arc circulaire numérique , de rayon 

 1, qui mesure l'angle décrit par le rayon r variable tournant autour 

 du pôle, à partir de l'axe polaire fixe. 



Faisant varier par infiniment petits l'arc a, depuis «=0, en 

 passant par a=ia' et s'arrêtant à ra:=90'', le rayon vecteur r varie 

 de même, positivement et négativement : ses valeurs partent de 

 »•= ± , passent parle maximum r=±a et s'arrêtent à r=±0. 

 De sorte que les extrémités des valeurs positives, puis des valeurs 

 négatives de r, décrivent les deux feuilles , égales et opposées au 

 pôle , d'une Lemniscate dont 2o est l'axe réel de symétrie , incliné 

 de 4.3° sur l'axe polaire. De plus , le pôle est à la fois un point 

 double et une double inflexion de la courbe plane résultante, dont 

 la forme est celle du chiffre huit incliné. 



Maintenant, soit F l'aire de chacune des feuilles égales de la lem- 

 niscate simple proposée , et cherchons l'expression de la mesure 

 de |F, depuis <<) = jusqu'à M=4S'' = »ia;, n étant un nombre en- 

 tier infini. D'abord les rayons vecteurs successifs divisent |F en n 

 secteurs élémentaires dont l'angle au pôle de chacun est mesuré 

 par l'arc circulaire a; infiniment petit et de rayon 1. Ensuite, soit 

 T le m ième de ces secteurs élémentaires, à partir de l'axe polaire, 

 d'où alors a = mx. D'après ce qui précède et les formules (A), il est 

 clair qu'on a successivement : 



T=lr'x=^a^xsm'2mx et lF = ja*xfsin'2nx; 



2.'(;/sin2nx=2sin«iix = l et ^F — {a'; d'où 2F=a'. 



