112 J.-N. Noël. — Théorie iii/tiiitésimale appliquée. 



Ainsi l'aire de la lemniscate proposée a même mesure que le carré 

 fait sur la droite a donnée ; c'est une courbe carrablc, comme la 

 courbe r^ = a- sin'a. 



Remarque. On vérifie que l'aire de la leraniscale r* = a' sin a 

 a pour mesure 2a^; tandis que la lemniscate j" = a^sin ka, k valant 

 2,3,4,3,..., limite une aire k fois plus petite que 2a^. Toutes 

 CCS lemniscaics sont simples et l'on pcui, comme on voit, décrire 

 la lemniscate dont l'aire soit la moitié, le tiers, le quart,... de l'aire 

 de la lemniscate r'=a^ sin a. 



Lemniscate double. Considérons encore la courbe polaire : 

 r- = a^sin^2'i). 



La discussion de cette équation polaire apprend qu'elle repré- 

 sente une lemniscate double , composée de quatre feuilles égales et 

 opposées au pôle , cette courbe ayant deux axes réels de symétrie , 

 égaux à 2a et inclinés chacun de 43°, mais en sens opposés , sur 

 l'axe polaire. 



Pour calculer la mesure de l'aire A limitée par celle lemniscate 

 double, soit i F l'aire de la demi-feuille , depuis u = jusqu'à a = 

 4S°=jT=Ma;, n étant infini. Les rayons vecteurs successifs divi- 

 sent ^F en H secteurs élémentaires dont l'angle au pôle esl mesuré 

 par l'arc circulaire x infiniment petit. Soit T le tn ième de ces sec- 

 teurs , à partir de l'axe polaire et répondant à u = mx. On a donc 

 successivement : 



T = l)^x = la-xsm'^mx et ^F^^a^x/sin^inx ; 



8xfsin^'2nx = inx — sin4«a: = ^ — sin 180° = îr 



et iF=JL^„2. d'où A=4F = i,Ta'. 



On voit que l'aire de la double lemniscate proposée équivaut à 

 Faire du demi-cercle dont a est le rayon. 



Remarque. Le procédé ci-dessus fait voir que 5^"a' est la mesure 

 constante des aires limitées par les Icmniscates simple , double , 

 triple, etc. savoir : 



r^^a^sin'x, >2=a? sin*2ffl, r^= «^sin^Sa, etc. 

 On sait donc partager la première de ces Icmniscates en 2, 3,4,... 

 Icmniscates simples d'aires équivalentes entre elles; ce qui est re- 

 marquable. 



DiFFÉr.EMEs APPLICATIONS. La méthode précédente pour calculer 

 les aires que limitent des courbes planes représentées par des équa- 



