Mesurafjc des Aires et des Volumes. 113 



lions polaires, peut s'appliquer à un grand nombre de courbes de 

 genres différents. 



I. Il en résulte la quadrature : de la spirale d'Archiméde ; de 

 la spirale du second degré; de la spirale logarilhîhique ; de la tri- 

 sectrice et de différentes autres courbes. (Voyez à ce sujet le Traité 

 de Géométrie analytique, 2°° édit.) 



II. L'ellipse étant rapportée à ses axes 2a et 26 , on démontre 

 que le lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires , 

 menées du centre sUr toutes les tangentes à cette courbe , a pour 

 équation : 



(y5 + a^)*=6V + a2x2; d'où 

 r^=b^sm^a+a-cos^a. 

 Cette courbe, circonscrite à l'ellipse proposée, la touche aux 

 quatre sommets , où ses quatre branches égales se terminent par 

 quatre rebrousscments de la courbe. Soit A l'aire limitée : 1 A est 

 décrit par les rayons vecteurs r depuis to=0 jusqu'à &)==90°=i,T = 

 nz, n étant un nombre entier infini et z un arc numérique infini- 

 ment petit, mesure de l'angle infiniment petit au pôle de chacun 

 des secteurs dans lesquels ^A est divisé. Soit t l'aire du y"" de ces 

 secteurs, à partir de l'axe des x, axe polaire pour lequel b = 0. Il 

 est clair qu'on a successivement : 



t = \b^z smhsz + {a^z cossus ; 

 î A = lh^zfûv?nz -f ia^s /cos2«2 ; 

 îA = fT62 + ira2 et A=^!r(a2 + 62). 



On voit que la différence des aires limitées par la courbe et par 

 l'ellipse équivaut au demi-cercle dont a—b est le rayon; et ce 

 demi-cercle est nul , comme cela doit être , lorsque 6 = a". 



III. Pour l'hyperbole, 6^ devient — 6^; ainsi le lieu des pieds de 

 toutes les perpendiculaires, menées du centre sur toutes les tan- 

 gentes à l'hyperbole, a pour équation : 



(2/^ + x2)2 = aV— 6V. 

 ï)ans ce cas, à cause de c' = a'^b^, il vient l'équation polairc 



r2=a2 — t^sin^a. 



Le lieu des pieds est donc une lemniscale simple , dont le centre, 



point double, est le contact de chacune des deux asymptotes, pour 



lesquelles l'arc u numérique, de rayon 1 , est donné par csinu = 



±n ; c'est le maximum ainsi connu de l'arc variable a. Pour cal- 



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