114 J.-N. Noël. — Théorie infinitésimale appliquée, 



ciller l'aire A limitée par cette lemniscatc, on observe que les 

 rayons vecteurs, depuis «=0 jusqu'à son maximum u=nz, di- 

 visent la demi-feuille j A en un nombre infini m de secteurs élémen- 

 taires dont l'angle au pôle de cbacun est mesuré par l'arc numé- 

 rique infiniment petit z , de rayon 1 ; le « iéme de ces secteurs, à 

 partir de l'axe polaire, a donc pour mesure ^a^z — ^c^zsin^vz. De 

 sorte qu'on a 



A='2a^iiz—^c-zfs\nhiz et A==.(d^ —b"-)a'-\-ab. 



Si l'hyperbole est éq'!H'?a<ère , on a «'=4.5° = j?r, 6 = oetA=a6, 

 comme il est facile de le vérifier directement. 



IV. Le pôle étant l'origine des coordonnées rectangulaires et 

 l'axe des x, l'axe polaire, la courbe 



est composée de deux brandies , en forme de cœur, égales et oppo- 

 sées, se coupant sur l'axe des y en trois points doubles de la cour- 

 be, savoir le pôle et les deux autres à la distance a, de part et 

 d'autre de ce pôle , centre de la courbe proposée. 



Soit S l'aire du secteur, depuis «=0 jusqu'à «=90'' : on trouve 



S=ia2(i;r-1-1). 



Pour calculer le segment S' dont a est la corde, soit posé 

 o= 90°-)- w'; on aura r^=a^{\ — sin a') et par suite 



S' = ia^(ix-1). 



L'aire limitée par une branche équivaut donc à x»^- Si l'on re- 

 garde la courbe comme lerniiiiéc aux extrémités de son axe de sy- 

 métrie 2a, sur l'axe des y, elle forme avec la circonférence décrite 

 sur cet axe 2rt, comme diamètre, deux lunules égales dont la somme 

 des aires équivaut à celle du carré fait sur 2a. — Enfin , si de /Ta- 

 on soustrait 4S', il reste 2a^. — Des considérations analogues s'ap- 

 pliquent à la double courbe : r=a(l ± ces a). 



V. Plus généralement, le pôle étant à l'origine des coordonnées 

 rectangulaires , et l'axe polaire la partie positive de l'axe des x , con- 

 sidérons la courbe 



r = 2(a-|-6 cosa) , 



où l'on suppose a'^b. Faisant varier l'arc u par infiniment petits, 

 depuis M = en passant par a= 90% "^180°, «=270° et s'ar- 

 rètant à a = 3G0", on reconnaît que la courbe, en forme de cœur, 

 n'a que le seul axe de symétrie ia sur l'axe des x et que le point 



