Mesuragc des Aires et des Volumes. US 



de rebroussement , situé sur l'axe des x négatifs, est à la dislance 

 2(a — 6) du pôle. 



Cela posé, soient S et S' les aires des secteurs depuis «=0 jus- 

 qu'à M = 90° et depuis «=90° jusqu'à a=180°, c'est-à-dire en 

 posant B = 90''-|-a', depuis a' = jusqu'à a' = 90° : on trouvera 



Soit A l'aire limitée par la courbe proposée; d'où A=2S4-2S' 

 et par conséquent 



A=2(2s-a2-4-s-62). 



De même, soit A'^2S — 2S'; on a A'=16o6. Ici la courbe a 

 trois points de rebroussement , etc. 



Si b — a, la courbe est le lieu géométrique du pied de chaque 

 perpendiculaire abaissée de l'origine sur les tangentes à la circon- 

 férence i/--}-x^=iax. 



VI. Dans la circonférence y^-\-a^ = a-, si du pied de l'ordonnée 

 y' d'im point quelconque (x',y') de la courbe, on abaisse une 

 perpendiculaire sur le rayon a qui joint ce point, les pieds de toutes 

 ces perpendiculaires décrivent la lemniscate simple : 



(3?-\-y^y = a^x^ ou r^ = a2cos'a. 



Non-seulement l'aiVe limitée par cette dernière courbe est les trois 

 huitièmes de l'aire du cercle proposé; mais de plus, le volume en- 

 gendré par l'aire de la demi-lemniscale , tournant autour de son axe 

 réel de symétrie 2a , est le septième de celui de la sphère dont a est 

 le rayon ( à démontrer chaque fois). 



VII. Dans la surface sphérique ac^ -f y- + s^=a^, si {x',y'.z') 

 est un point quelconque de cette surface, et que du point (0, 0,s') 

 de l'axe des z , on abaisse une perpendiculaire sur le rayon abou- 

 tissant au premier point ; le lieu géométrique du pied de cette per- 

 pendiculaire est la surface 



(o^ + y^-\-z^y = aH'. 

 C'est ce qu'on démontre aisément par les propriétés numériques 

 et la similitude des triangles rectangles. — La surface proposée est 

 décrite par la révolution de la demi-leniniscate simple (x2+3')'== 

 a*;', tournant autour de l'axe des z ; il en résulte donc exaciemcnt 

 les deux théorèmes numériques précéileuls (VI). 



