116 J.-N. Noël. — Théorie infiiiilésiinale appliquée. 

 Emploi do Calcul Intégral. 



On sait que le Calcttl diffèrenliel et le Cakul intégral démontrent 

 les formules nécessaires pour généraliser et simplilier en même 

 temps les applieaiions de la théorie infinitésimale. Or, bien que 

 eette théorie soit générale, les équations qu'elle fournit , pour la 

 quadrature et la eubature, changent néanmoins de formes quand 

 on les approprie au Calcul intégral; et c'est ce que nous allons 

 établir. 



Equation de mesurage. Soit y = {(x) l'équation d'une courbe 

 plane, rapportée à des coordonnées rectangulaires, et cherchons 

 l'expression de l'aire S de cette courbe, depuis x=a et y^b jus- 

 qu'à x=a' et y=b' ; d'où a<:^a' et 6<^6'. 



D'abord l'élément superficiel rfS est compris entre les deux rec- 

 tangles élémentaires mesurés par ydx et par ydx -{- dydx ; de 

 sorte qu'on a 



dS = ?/dx -j- <d2/tlx ... (I) 



Pans cette équation, rigoureusement exacte, dS, dx et *\y sont 

 des nombres infiniment petits et variables. Si donc on prend les 

 intégrales des deux membres, depuis x = a jusqu'à x = a', ilest 

 clair d'abord que ydx ou plutôt ÎQcyix fournit un nombre cons- 

 tant N, tandis que <d//rfx donne <(6' — b)dx , nombre variable 

 et infiniment petit avec dx. On a donc 



S=N+<(6'-6)dx. ... (2) 



Dans celle équation, toujours exacte, les nombres S et N sont 

 constants ; si donc le terme variable devait y être conservé , le 

 nombre constant S serait toujours variable, comme toujours égal 

 à un nombre variable; de sorte que S serait à la fois constant et 

 variable; chose évidemment absurde. Donc le terme <^(6' — b)dx 

 doit disparaître de l'équation (2), non parce qu'il est nid, non parce 

 qu'il est infiniment petit, mais jiarcc qu'il est variable, et l'on a 

 exactement S = N. 



C'est toujours la régie des variables; car (6' — b]dx est le pre- 

 Uiier nombre d'une soustraction dont les deux termes sont inUni- 

 qient petits. De plus, <(6' — b)i\x est fourni par l'infiniment petit 

 du second ordre <d//dx; celui-ci doit donc, pour la simplification, 

 se négliger aussi à l'égard de l'infiniment petit du premier yûx 

 dans l'équation (1), laquelle devient simplcnjent 



dS = ^(lx cl mieux dS = ((x)dx, ... (3) 



