Emploi du Calcul intégral. 117 



Telle est l'cqualion imparfaite, en apparence, qu'il faut em- 

 ployer et qu'on emploie toujours , dans le Calcul intégral , pour sim- 

 plifier la quadrature et même la cubature , sans qu'il en résulte au- 

 cune erreur finale, ainsi qu'on vient de le démontrer. 



Remarque, L'équalion (3) de mesurage est rigoureusement exacte, 

 si l'on y sous-entend toujours les termes variables fournissant ceux 

 qui doivent disparaître, comme variables , à la fin des calculs. 



Courbe pahabolique. Pour appliquer le Calcul intégral à l'équa- 

 tion (3) de mesurage , considérons l'équation d'une courbe parabo- 

 lique , rapportée à des coordonnées rectangulaires, savoir : 

 a-y=^a^x — x'. 



Ici l'équation (3) devient évidemment 



d'à% = a^x dx — x'dx. 



Cette dernière équation étant intégrée donne , comme on sait , 

 o2S=ia^x2 — ix' + C. 



Si l'inlrégrale est prise depuis x = jusqu'à x = a, d'où chaque 

 fois y = 0, il est clair qu'alors la constante arbitraire C est nulle, 

 et que pour calculer l'aire du segment S dont a est la corde, on a 

 l'équation a^S=^a^ — jo'=jO*; d'où S = (3(1)-. 



Mais si l'intégrale est prise depuis x=o jusqu'à x=2a, d'où 

 2/ = et y= — 6a, il est clair que pour x = a ely = 0, l'aire S 

 est nulle; d'où C= — ja*. On a donc finalement S = — (fn)'^- 



Cette valeur étant négative aussi bien que y, on voit que le sec- 

 teur S tombe au-dessous de l'axe des x et vaut le carré construit 

 sur la droite |a. — C'est ce qu'on vérifierait , avec beaucoup moins 

 de facilité, par le simple calcul infinitésimal. 



On peut discuter \à courbe {ay — s^y^a^s?, puis calculer les 

 aires du segment et du secteur qui répondent à x = (i. La somme de 

 ces aires est a^. 



Volume d'un segment d'ellipsoïde. Soient 2a , 26 , 2c les trois 

 axes principaux de l'ellipsoïde , de telle sorte qu'on ait 2o>26>2c. 

 Si l'origine des coordonnées rectangulaires est à une exirémilc de 

 2a, celui-ci sur l'axe des x, l'équation de la surface est 



b^ '^ 7^ ^^ ■ 



Il s'agit de calculer le volume du segment S d'ellipsoïde, depuis 

 3;=tl jusqu'à x= A. D'abord les plans parallèles à celui des ?/;, 



