118 J.-N. Noël. — Théorie iiiflnilùsimiilc appliquée. 



depuis a:=0 jusqu'à une longueur arbitraire, mais donnée, de x, 

 divisent cette longueur en une infinité de parties égales à dx cl 

 divisent le segment S en une infinité de tranches , ayant cliacunc 

 deux bases elliptiques parallèles, et toutes même épaisseur dx infi- 

 niment petite. Soit dS l'une de ces tranches élémentaires dont la 

 plus petite base elliptique, répondant à l'une des valeurs croissantes 

 de x, a pour mesure ttijz. A cause de l'épaisseur dx infiniment 

 petite, dS peut être considérée, sans aucune erreur finale, comme 

 un cylindre elliptique droit; de sorte qu'en sous-entenJant les uni- 

 tés v,selu, on a dS^x//sdx. 



Pour la valeur ci-dessus de x, les demi-axes y cl z de la base 

 elliptique de dS se déterminent par les hypothèses successives: 

 s = et 2/=0 , dans l'équation de l'ellipsoïde. Substituant donc les 

 valeurs résultantes dans l'expression de dS, elle devient 



dS = ('2axdx — x'dx). 



Prenant l'intégrale du second membre, depuis x = jusqu'à x=/(, 

 puis observant que x = donne y = 0, ~=0,S = et C=0, 



frbch^ 



on aura S=' (O' — r/i). 



Telle est l'expression cherchée du volume du segment S; et 

 cette expression se trouve presqu'aussi aisément par le simple cal- 

 cul infinitésimal. — Si h=1a, le segment S devient le volume E 

 derelHpsoïde, et l'on a E=\^abc. — Pour la sphère, où6=e=a, 

 il en résulte les expressions du volume du secteur sphériquc et de 

 l'aire de la zone qui lui sert de base; etc. 



Aire d'une Lemniscate. Les coordonnées étant rectangulaires , 

 calculer l'aire limitée par la lemniscate simple : 

 «22/' = oV — X». 



Soit F l'aire cherchée d'une demi-feuille : les ordonnées, depuis 

 x= jusqu'à x= a, divisent a en une infinité de parties égales à 

 dx et divisent F en une infinité de tranches, toutes de même lar- 

 geur dx infiniment petite. Soit dF l'une de ces tranclies répondant 

 à une valeur arbitraire de x; dF peut donc être considérée, 

 sans aucune erreur finale, comme un rectangle ayant dx pour 

 hauteur et pour base la valeur de y qui répond à celle de x. De 

 sorte qu'on a 



r!dF = xiixV' iC — x' . 



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