Emploi du Calcul intégral . 119 



Pour intégrer, posons a^ — a:' = s; d'où x-=a^ — z, a;dx = 

 — fds et 



«F=-i/z»dz=-i|/3^4-C. 



Celle inlégrale doit être prise depuis x = jusqu'à x=a; or, 

 poura: = 0, on a 2/ = 0, F=0, c = a' et = 50' ; tandis que pour 

 x-=a, on a s=0 et — ij/'s'=0. Il vient doue 



F=ia' et 4F = |a'. 



Telle est l'expression de l'aire cherchée de la lemniscate pro- 

 posée, laquelle, comme on voit, est une courbe carrable. — La 

 simple théorie infinitésimale développée précédemment ne saurait 

 conduire à cette expression. — La discussion compioie est facile. 



Secteur hyperbolique. Les coordonnées étant rectangulaires , 

 considérons d'abord la courbe hyperbolique 



Cette courbe n'a point de centre , n'a qu'un seul axe de symétrie , 

 celui des x, et une seule asymptote recliligne, savoir x=: — a. 



Cherchons l'expression de l'aire S du secteur de celte hyperbole, 

 depuis x = 0, d'où y=0, jusqu'à x=a, d'où y'=d:^al/"2. Les 

 ordonnées, depuis a:=0 jusqu'à x=a, divisant a en une infinité 

 de parties égales à dx, divisent aussi S en une infinité de tranches, 

 toutes de même largeur infiniment petite dx. Soit dS l'une de ces 

 tranches , répondant à une valeur arbitraire de x ; on peut , sans 

 aucune erreur finale, regarder dS comme un rectangle infiniment 

 petit, et l'on a 



dS = |/a>xcl3(;(a -j-a:)~'. 



Pour intégrer cette différentielle binôme, posons a-\-x=z; nous 

 aurons x=z — a,x^={z — a)^,xdx=(z — a)dz et par suite 



dS = l/o(r^dz— az-"ds). 



Delà, S = ^/a(f^/z' — 2nJ/z) + C. 



Pour x=0, ona2/=0,S=0,z=oetC=|a2; tandis que pour 

 x = a, on a z = 2a. Il vient donc, pour l'expression de l'aire cher- 

 chée : S = |a2(2 — v/2). 



AuTiiE HTPERBOLE. Considérous encore l'hyperbole , à coordon- 

 nées rectangulaires, savoir : 



(c? — x^)2/' = a*x^. 

 Cette courbe a les deux asymptotes rectiligncs x = a cl x= — 0. 



