120 J.-N. Noël. — Théorie infinitésimale appliquée. 



Soit S l'aire du secteur, depuis x = jusqu'à une valeur possible 

 de X : des calculs analogues aux précédents donnent 

 a^--.xfl = z et S = i(i2— lnl/3. 



Pour x=a on a ^ = et S = (ja)-. Ainsi , bien que S ait l'une 

 de ses deux dimensions infiniment longue, ce secteur S a cependant 

 une aire finie, équivalente au carré fait sur 30. 



FoLiuM. Considérons la courbe, à coordonnées rectangles : 



La discussion fait voir que cette courbe, symétrique par rapport 

 à l'axe des x, se compose de deux branches, infinies du côté des x 

 négatifs, se coupant à l'origine, point double, et limitant une 

 feuille depuis x=0 jusqu'à x = a , où la direction de l'ordonnée est 

 tangente. Le maximum de l'ordonnée répond à x ^f a; la courbe 

 a donc deux tangentes-sécantes parallèles à l'axe des x : elle a aussi , 

 au point double , deux tangentes-sécantes , formant avec l'axe des x , 

 de part et d'autre , deux angles demi-droits cbacun. De sorte cpie 

 la feuille est inscrite dans le triangle rectangle isocèle dont l'aire 

 est a^ i aussi, d'après l'intégration d'une différentielle binôme , 

 trouve-t-on que l'aire de la feuille a pour mesure -^a-. — On jieut 

 aisément calculer l'aire du segment depuis x=0 jusqu'à x^ — a, 

 ainsi que les volumes de révolution que le demi-segment et la demi- 

 feuille décrivent autour de l'axe des x. — Les aires et les volumes 

 ci-dessus peuvent aussi se calculer par la simple tlicorie infinité- 

 niale, parce que la folium proposée est identique avec celle-ci : 

 ay' ^x(a — x)^. 



Volume d'un segment. Les coordonnées étant rectangulaires , 

 considérons la surface du h"^" degré : 



lixhf -\- abz- = ^bx\ 



Les plans parallèles à celui des y:, depuis x = jusqu'à x = h, 

 divisent le volume S du segment, limité par la surface et le dernier 

 plan, en un nombre infini de tranches, à bases elliptiques paral- 

 lèles, et toutes de même épaisseur dx infiniment petite. De soric 

 que si l'on pose b = ac, on trouvera finalement : 



S = f/T/t'|/c,- d'où S=f?r7t', pour 6 = n. 



Différentes cubatures. Les coordonnées étant toujours reclan- 

 gidaires, il est bien facile de calculer les expressions des volumes 

 dans les surfaces que voici : 



(abx — ay- — ir^)' = a-i'x» ; 

 {ay^ + bz^ — b^-:)- = ab'x' ; 



1 



