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De plus, toutes les fractions possibles , depuis 1 exclu jusqu'à 2 indu , 

 vont nécessairement en croissant par une mfime différence d lellcment petite 

 qu'on a d X •» = 1 et (Z =j. Or celte diifùrence d, infiniment petite, sans 

 être nulle , et toujours inconnue , n'est pas variable , d'après l'hypothèse ; elle 

 est ici la plus petite possible ou un minimum. Si en effet, la différence d 

 pouvait être plus petite, elle serait au plus rf=_-i-j ; d'où l'on aurait d X 

 /oo -)- 1 ) = 1 . Le nombre de toutes les fractions possibles ci-dessus serait 

 donc » + 1 et non pas œ ; ce qui est absurde. 



Il est évident que les nombres respectifs de toutes les fractions possibles, 

 depuis 1 exclu jusqu'à 2,3,4, 5, 6 ,... inclus, sont : » , 2a> , 3a> , 4:c , 

 500 etc. On voit que deuxnombres infinis différents peuvent avoir un raji- 

 vorl fini quelconque ; et il en est de même de deux nombres infiniment petits. 

 Par exemple , le rapport de li à ^ est U . 



La différence d est évidemment la même pour toutes les fractions possi- 

 bles , depuis ^ exclu jusqu'à 2, 3, 4, 5,6,... inclus. On a donc 

 d = i = -^ = ,J_ = _i_ ==-!-= etc. 



G "» 



On ue change donc pas la valeur d'une fraction infiniment petite lorsqu'on 

 multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre , fût-il 

 même infini. 



La première de toutes les fractions possibles, entre 1 et 2 , étant 1 + 

 ^ »+- , on voit qu'en général les deux termes .lont infinis pour chacune des 



fractions possibles , comprises entre deux nombres entiers quelconques , immé- 

 diatement consécutifs. Or, l'une des fractions possibles entre 3 et 4, par exem- 

 ple , se réduit à — ; il faut donc que les deux termes infinis de cette fraction 

 aient un facteur infini commun, désigné par a, et soient 10a et Sa; car 

 alors en supprimant ce facteur infini commun , on ne change pas la valeur de 

 la fraction et on la réduit à i^. 



On démontre que la racine carrée de ■! 2 , comprise entre 3 et 4 , est inex- 

 primable en chiffres ; c'est donc une fraction dont les deux termes infinis n 

 et p n'ont point de facteur infini commun , et l'on a rigoureusement j/ 12 = 



nsur /). 



De là résulte quedans A=B|/42, les deux quantités continues A etB de 

 même nature (deux droites ou une courbe et une droite finies) ont toujours 

 un commun diviseur rectiligne infiniment petit. On le vérifie d'ailleurs , car 

 pouvant approcher d'aussi près qu'on le veut du rapport j/12 , toujours in- 

 connu, on approche en même temps du commun diviseur de A et B; donc 

 ce commun diviseur existe : il est infiniment petit et toujours inconnu. 



Si n etp désignent deux nombres entiers infinis, on a 



rXp=^— et-; -=vi = 3p : in. 



Et comme toute fraction , à termes infinis , est nécessairement comprise 

 entre deux nombres entiers immédiatement consécutifs, on voit que: 1° Le 

 produit d'un nombre infiniment pelit par un nombre infini, ou réciproque- 

 ment, est toujours un nombre fini indéterminé; 2° Le quotient ou le rapport 

 de deux nombres, soit infinis , soit infiniment petits, est toujours un nombre 

 fini inconnu. 



