Théorie iufiniténmak appliquée. loi 



Les principes du Calcul infinitésimal étant ainsi rigoureusement démon- 

 trés, pour les nombres infiniment grands et infiniment petits du premier 

 ordre , on voit que ce n'est pas gratuitement que l'on étend à ces deux genres 

 de nombres , inexprimables ou irrationnels , les règles établies pour le calcul 

 des nombres finis. 



Quant au principe infinitésimal , où il faut trouver des nombres finis, il ne 

 s'applique que quand l'expression du nombre fini x cherché est ramenée à 

 la forme x = a +1/ , a désignant un nombre .fini et y un nombre infiniment 

 petit variable, pouvant être négatif. 



Or, si a et a; ne sont pas tous les deux constants et qu'on néglige y , on 

 commet une erreur infiniment petite , absolument inappréciable et dont on 

 ne saurait tenir compte pour augmenter ou diminuera. D'ailleurs, puisqu'on 

 cherche un nombre fini x, l'infiniment petit y, toujours inconnu, ne saurait 

 en faire partie, et y n'a pas plus d'influence sur x que si l'on avait rigou- 

 reusement !/ = o; d'où a; =a. Ainsi a exprime exactement la valeur finie a; 

 cherchée. 



On voit que pour calculer les nombres finis , le principe infinitésimal est 

 rigoureusement exact; mais que dans le calcul général des nombres, ce 

 principe est celui de très-grande approximation. Ici l'infiniment petit y se 

 néglige forcément, mais cependant au même titre que quand cherchant un 

 nombre a; de centièmes, a exprimant un nombre de centièmes donné, on 

 néglige y moindre qu'un demi-centième : il en résulte alors x = a , à moins 

 d'un demi-centième près. 



Maintenant , si les deux nombres finis a et x sont constants dans l'équation 

 x = a+y toujours exacte, le nombre infiniment petit variable y ne saurait 

 entrer dans cette équation : autrement lu nombre constant x serait toujours 

 variable; chose absurde. Le nombre y disparaît donc de cette équation , non 

 parce qu'il est nul ou infiniment petit , mais uniquement parce qu'il est varia- 

 ble ; et ronaa; = «, sans aucune erreur, pas môme infiniment petite. 



On sait que o sur (1 — r) est la génératrice par division d'une progression 

 géométrique, et que celte génératrice co7istante ne dépend aucunement du 

 nombre variable de termes calculés dans son développement. Si donc pour 

 calculer la génératrice, on désigne par S la somme de tous les termes de la 

 progression, continuée à l'infini, la somme S est constante comme la géné- 

 ratrice qu'elle représente. Or, ou trouve 



a ai-* 



Le dernier terme du second membre étant seul variable avec «j , no sau- 

 rait entrer dans cette équation toujours exacte , et en le supprimant on a 

 exactement la génératrice , sans avoir rien négligé sur la valeur deS , vu que 

 ce dernier terme n'entre point dans cette valeur. Cela est vrai pour )■ 

 quelconque, possilifou négatif, mais différent de l'unité. — Sir < 1 , la 

 génératrice est la limite de la somme de tous les termes de la progression 

 géométrique décroissante, continuée à l'infini; et cette somme atteint sa 

 limite a l'infini , puisqu'il ne faut rien négliger pour y parvenir en divisant 

 a par 1 — r. 



Dls infinis et infiniment petits géométriques. On sait qu'une droite 



